ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 342

1) Пусть первое натуральное число равно $n$. Тогда следующие за ним два последовательных натуральных числа равны $n + 1$ и $n + 2$, где $n \in \mathbb{N}$. Запишем сумму этих трёх чисел и преобразуем её: $$ n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) $$ Так как один из множителей равен $3$, а второй множитель $(n + 1)$ является натуральным числом, то произведение $3(n + 1)$ кратно 3. Утверждение доказано. 2) Пусть первое натуральное число равно $n$. Тогда семь последовательных натуральных чисел имеют вид: $n$, $n + 1$, $n + 2$, $n + 3$, $n + 4$, $n + 5$, $n + 6$, где $n \in \mathbb{N}$. Найдём их сумму: $$ n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) = 7n + 21 = 7(n + 3) $$ Так как в полученном произведении один из множителей равен $7$, а число $(n + 3)$ — натуральное, то вся сумма делится нацело на 7. Утверждение доказано. 3) Любое чётное натуральное число имеет вид $2n$, где $n \in \mathbb{N}$. Каждое следующее чётное число на 2 больше предыдущего, поэтому четыре последовательных чётных натуральных числа — это $2n$, $2n + 2$, $2n + 4$ и $2n + 6$. Составим их сумму: $$ 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 8n + 12 = 4(2n + 3) $$ Так как один из множителей равен $4$, а выражение $(2n + 3)$ принимает натуральные значения при любых $n \in \mathbb{N}$, то сумма делится нацело на 4. Утверждение доказано. 4) Запишем пять последовательных чётных натуральных чисел: $2n$, $2n + 2$, $2n + 4$, $2n + 6$ и $2n + 8$, где $n \in \mathbb{N}$. Найдём сумму этих чисел: $$ 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 10n + 20 = 10(n + 2) $$ Так как один из множителей равен $10$, а выражение $(n + 2)$ является натуральным числом, то полученное произведение делится нацело на 10. Утверждение доказано.