ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 344

1) Запишем трёхзначные числа $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ в виде суммы разрядных слагаемых: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ $\overline{bca} = 100b + 10c + a$ $\overline{cab} = 100c + 10a + b$ Составим сумму этих чисел: $$ \overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (100a + a + 10a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c) = 111a + 111b + 111c $$ Вынесем общий множитель $111$ за скобки: $$ 111(a + b + c) $$ Так как один из множителей делится на $111$, то и всё произведение $111(a + b + c)$ кратно $111$. Утверждение доказано. 2) Сумма цифр числа $\overline{abc}$ равна $(a + b + c)$. Запишем число $\overline{abc}$ в виде суммы разрядных слагаемых: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ Составим разность числа и суммы его цифр: $$ \overline{abc} - (a + b + c) = (100a + 10b + c) - (a + b + c) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 100a + 10b + c - a - b - c = (100a - a) + (10b - b) + (c - c) = 99a + 9b $$ Вынесем общий множитель $9$ за скобки: $$ 9(11a + b) $$ Так как в полученном произведении один из множителей равен $9$, а значение выражения $(11a + b)$ является целым числом, то и всё выражение $9(11a + b)$ делится на $9$. Утверждение доказано.