ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 603

Любое натуральное число $n$ является либо чётным, либо нечётным. Рассмотрим оба случая. 1) Пусть число $n$ — чётное. Тогда его можно записать в виде: $$ n = 2k, \quad \text{где } k \in \mathbb{N} $$ Возведём его в квадрат: $$ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 $$ Так как полученное выражение содержит множитель $4$, число $n^2$ делится на $4$ без остатка (нацело). В этом случае остаток равен $0$. 2) Пусть число $n$ — нечётное. Тогда его можно записать в виде: $$ n = 2k + 1, \quad \text{где } k \text{ — целое неотрицательное число} $$ Возведём его в квадрат, применив формулу квадрата суммы: $$ n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1 $$ Первое слагаемое $4(k^2 + k)$ кратно $4$, следовательно, при делении числа $n^2$ на $4$ остаток равен $1$. Таким образом, квадрат натурального числа при делении на $4$ может давать только остаток $0$ или $1$. Ответ: $0$ или $1$.