ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 606

Пусть данное натуральное число равно $n$. По условию, при делении на $25$ число $n$ даёт остаток $5$. Следовательно, его можно представить в виде: $$ n = 25k + 5 $$ где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Возведём число $n$ в квадрат, применив формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ n^2 = (25k + 5)^2 $$ $$ n^2 = (25k)^2 + 2 \cdot 25k \cdot 5 + 5^2 $$ $$ n^2 = 625k^2 + 250k + 25 $$ Вынесем общий множитель $25$ за скобки: $$ n^2 = 25(25k^2 + 10k + 1) $$ Так как $k$ — целое неотрицательное число, то значение выражения $(25k^2 + 10k + 1)$ также является целым числом. Один из множителей произведения равен $25$, значит, число $n^2$ делится нацело на $25$, то есть квадрат данного числа кратен $25$. Что и требовалось доказать.