ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 608

Пусть данное натуральное число равно $n$. Так как при делении на $11$ число $n$ даёт остаток $6$, его можно представить в виде: $$ n = 11k + 6 $$ где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Возведём число $n$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы: $$ n^2 = (11k + 6)^2 = (11k)^2 + 2 \cdot 11k \cdot 6 + 6^2 = 121k^2 + 132k + 36 $$ Представим число $36$ в виде суммы, выделив слагаемое, кратное $11$: $$ 36 = 33 + 3 = 11 \cdot 3 + 3 $$ Подставим это выражение в формулу для $n^2$ и вынесем общий множитель $11$ за скобки: $$ n^2 = 121k^2 + 132k + 33 + 3 = 11(11k^2 + 12k + 3) + 3 $$ Выражение в скобках $11k^2 + 12k + 3$ является целым числом, а число $3$ удовлетворяет условию $0 \le 3 < 11$. Следовательно, при делении квадрата данного числа на $11$ получается остаток $3$. Ответ: 3.