ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 684

Для разложения выражений на множители применим формулы суммы и разности кубов: $$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $$ $$ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $$ 1) Представим число $125$ как $5^3$ и применим формулу суммы кубов: $$ (b - 5)^3 + 125 = (b - 5)^3 + 5^3 $$ $$ = ((b - 5) + 5)\bigl((b - 5)^2 - (b - 5) \cdot 5 + 5^2\bigr) $$ Раскроем скобки во втором множителе: $$ = b(b^2 - 10b + 25 - 5b + 25 + 25) = b(b^2 - 15b + 75) $$ 2) Представим $8x^3$ как $(2x)^3$ и применим формулу разности кубов: $$ (4 - 3x)^3 - 8x^3 = (4 - 3x)^3 - (2x)^3 $$ $$ = ((4 - 3x) - 2x)\bigl((4 - 3x)^2 + (4 - 3x) \cdot 2x + (2x)^2\bigr) $$ Приведем подобные слагаемые в первой скобке и раскроем скобки во второй: $$ = (4 - 5x)(16 - 24x + 9x^2 + 8x - 6x^2 + 4x^2) $$ $$ = (4 - 5x)(7x^2 - 16x + 16) $$ 3) Применим формулу суммы кубов, где первым слагаемым является выражение $(a - b)$, а вторым — $(a + b)$: $$ (a - b)^3 + (a + b)^3 = ((a - b) + (a + b))\bigl((a - b)^2 - (a - b)(a + b) + (a + b)^2\bigr) $$ Упростим выражение в первой скобке и применим формулы квадрата разности, разности квадратов и квадрата суммы во второй скобке: $$ = (a - b + a + b)\bigl(a^2 - 2ab + b^2 - (a^2 - b^2) + a^2 + 2ab + b^2\bigr) $$ $$ = 2a(a^2 - 2ab + b^2 - a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2) $$ $$ = 2a(a^2 + 3b^2) $$ 4) Применим формулу разности кубов, где уменьшаемым является $(c + 3)$, а вычитаемым — $(c - 3)$: $$ (c + 3)^3 - (c - 3)^3 = ((c + 3) - (c - 3))\bigl((c + 3)^2 + (c + 3)(c - 3) + (c - 3)^2\bigr) $$ Раскроем скобки в каждом из множителей: $$ = (c + 3 - c + 3)(c^2 + 6c + 9 + c^2 - 9 + c^2 - 6c + 9) $$ $$ = 6(3c^2 + 9) $$ Вынесем общий множитель $3$ из второй скобки: $$ = 6 \cdot 3(c^2 + 3) = 18(c^2 + 3) $$ Ответ: 1) $b(b^2 - 15b + 75)$; 2) $(4 - 5x)(7x^2 - 16x + 16)$; 3) $2a(a^2 + 3b^2)$; 4) $18(c^2 + 3)$.