ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 685

1) Применим формулы суммы и разности кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$ и $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. $$ (x + 1)(x^2 - x + 1) + (2 - x)(4 + 2x + x^2) = (x^3 + 1^3) + (2^3 - x^3) $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ x^3 + 1 + 8 - x^3 = 9 $$ 2) Применим формулу разности кубов к первой части выражения и формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ ко второй: $$ (x - 4)(x^2 + 4x + 16) - x(x - 5)(x + 5) = (x^3 - 4^3) - x(x^2 - 5^2) $$ $$ = x^3 - 64 - x(x^2 - 25) = x^3 - 64 - x^3 + 25x = 25x - 64 $$ 3) Раскроем квадрат разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а второе произведение свернем по формуле суммы кубов: $$ a(a - 3)^2 - (a + 3)(a^2 - 3a + 9) = a(a^2 - 6a + 9) - (a^3 + 3^3) $$ $$ = a^3 - 6a^2 + 9a - (a^3 + 27) = a^3 - 6a^2 + 9a - a^3 - 27 = -6a^2 + 9a - 27 $$ 4) Сгруппируем множители так, чтобы применить формулы разности и суммы кубов: $$ (a - 1)(a + 1)(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) $$ $$ = [(a - 1)(a^2 + a + 1)] \cdot [(a + 1)(a^2 - a + 1)] \cdot (a^6 + 1)(a^{12} + 1) $$ $$ = (a^3 - 1)(a^3 + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) $$ Последовательно применим формулу разности квадратов $(u - v)(u + v) = u^2 - v^2$: $$ (a^3 - 1)(a^3 + 1) = (a^3)^2 - 1^2 = a^6 - 1 $$ $$ (a^6 - 1)(a^6 + 1) = (a^6)^2 - 1^2 = a^{12} - 1 $$ $$ (a^{12} - 1)(a^{12} + 1) = (a^{12})^2 - 1^2 = a^{24} - 1 $$ Ответ: 1) $9$; 2) $25x - 64$; 3) $-6a^2 + 9a - 27$; 4) $a^{24} - 1$.