ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 692

Чтобы выражение $x^{2n} - y^{3n}$ можно было разложить по формуле разности квадратов, показатели степеней обоих одночленов должны делиться нацело на $2$: * показатель $2n$ делится на $2$ при любом натуральном $n$; * показатель $3n$ делится на $2$ только тогда, когда $n$ делится на $2$ (так как число $3$ не делится на $2$). Чтобы выражение $x^{2n} - y^{3n}$ можно было разложить по формуле разности кубов, показатели степеней обоих одночленов должны делиться нацело на $3$: * показатель $3n$ делится на $3$ при любом натуральном $n$; * показатель $2n$ делится на $3$ только тогда, когда $n$ делится на $3$ (так как число $2$ не делится на $3$). Таким образом, натуральное число $n$ должно одновременно делиться на $2$ и на $3$, то есть делиться на $6$. Наименьшим натуральным числом, кратным $6$, является $n = 6$. Подставим $n = 6$ в исходное выражение: $$ x^{2 \cdot 6} - y^{3 \cdot 6} = x^{12} - y^{18} $$ Разложим полученный многочлен на множители: 1) По формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ x^{12} - y^{18} = (x^6)^2 - (y^9)^2 = (x^6 - y^9)(x^6 + y^9) $$ Полученные множители можно разложить дальше по формулам разности и суммы кубов: $$ x^6 - y^9 = (x^2)^3 - (y^3)^3 = (x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6) $$ $$ x^6 + y^9 = (x^2)^3 + (y^3)^3 = (x^2 + y^3)(x^4 - x^2y^3 + y^6) $$ Окончательно получаем: $$ x^{12} - y^{18} = (x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6)(x^2 + y^3)(x^4 - x^2y^3 + y^6) $$ 2) По формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $$ x^{12} - y^{18} = (x^4)^3 - (y^6)^3 = (x^4 - y^6)((x^4)^2 + x^4y^6 + (y^6)^2) = (x^4 - y^6)(x^8 + x^4y^6 + y^{12}) $$ Первый множитель можно разложить далее по формуле разности квадратов: $$ x^4 - y^6 = (x^2)^2 - (y^3)^2 = (x^2 - y^3)(x^2 + y^3) $$ Окончательно получаем: $$ x^{12} - y^{18} = (x^2 - y^3)(x^2 + y^3)(x^8 + x^4y^6 + y^{12}) $$ Ответ: $n = 6$; по формуле разности квадратов: $(x^6 - y^9)(x^6 + y^9) = (x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6)(x^2 + y^3)(x^4 - x^2y^3 + y^6)$; по формуле разности кубов: $(x^4 - y^6)(x^8 + x^4y^6 + y^{12}) = (x^2 - y^3)(x^2 + y^3)(x^8 + x^4y^6 + y^{12})$.