ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 690

Для доказательства делимости выражений разложим их на множители с помощью формул сокращённого умножения: - разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$; - сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Если один из множителей делится на данное число, то и всё произведение делится на это число. 1) Применим формулу разности кубов к выражению $456^3 - 156^3$: $$ 456^3 - 156^3 = (456 - 156)(456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2) = 300 \cdot (456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2) $$ Так как один из множителей равен $300$, то значение всего выражения делится нацело на $300$. Что и требовалось доказать. 2) Применим формулу суммы кубов к выражению $254^3 + 238^3$: $$ 254^3 + 238^3 = (254 + 238)(254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2) = 492 \cdot (254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2) $$ Первый множитель равен $492$. Проверим его делимость на $123$: $492 : 123 = 4$, то есть $492 = 123 \cdot 4$. Тогда: $$ 254^3 + 238^3 = 123 \cdot 4 \cdot (254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2) $$ Так как в произведении есть множитель $123$, то значение выражения делится нацело на $123$. Что и требовалось доказать. 3) Представим выражение $17^6 - 1$ в виде разности кубов, так как $17^6 = (17^2)^3$ и $1 = 1^3$: $$ 17^6 - 1 = (17^2)^3 - 1^3 = (17^2 - 1)((17^2)^2 + 17^2 \cdot 1 + 1^2) $$ Вычислим значение первой скобки: $17^2 - 1 = 289 - 1 = 288$. Получаем: $$ 17^6 - 1 = 288 \cdot ((17^2)^2 + 17^2 + 1) $$ Число $288$ делится нацело на $36$, так как $288 : 36 = 8$ (или $288 = 36 \cdot 8$). Следовательно, и всё выражение делится нацело на $36$. Что и требовалось доказать.