ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 691

1) Воспользуемся формулой суммы кубов: $$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $$ Разложим данное выражение на множители: $$ 341^3 + 109^3 = (341 + 109)(341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2) $$ Вычислим сумму в первых скобках: $$ 341 + 109 = 450 $$ Подставим полученное значение: $$ 341^3 + 109^3 = 450 \cdot (341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2) $$ Так как множитель $450$ делится нацело на $90$ ($450 : 90 = 5$), а второй множитель является целым числом, то и всё произведение делится нацело на $90$. Что и требовалось доказать. 2) Преобразуем степень $2^{15}$, представив её в виде куба: $$ 2^{15} = (2^5)^3 = 32^3 $$ Тогда исходное выражение принимает вид: $$ 2^{15} + 3^3 = 32^3 + 3^3 $$ Применим формулу суммы кубов: $$ 32^3 + 3^3 = (32 + 3)(32^2 - 32 \cdot 3 + 3^2) = 35 \cdot (32^2 - 96 + 9) = 35 \cdot (1024 - 96 + 9) $$ Так как один из множителей равен $35$, а второй множитель является целым числом, то всё выражение делится нацело на $35$. Что и требовалось доказать.