ГДЗ по Алгебре за 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков ответ на номер 38

### Ответ **1) Общее свойство:** Обе дроби являются сократимыми, но содержат значения переменной $x$, при которых знаменатель обращается в ноль (деление на ноль невозможно). **Как учитывать при построении:** 1. Найти область определения функции (значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю). 2. Сократить дробь и получить более простую функцию (в обоих случаях — линейную). 3. Построить график полученной функции и отметить на нём точки с недопустимыми значениями $x$ как **выколотые** (пустые кружки). --- **2) Графики функций:** * **а)** График функции $y = \dfrac{x^2 - 25}{2x + 10}$ — это прямая $y = 0{,}5x - 2{,}5$ с выколотой точкой $(-5; -5)$. * **б)** График функции $y = \dfrac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$ — это прямая $y = x$ с двумя выколотыми точками $(-3; -3)$ и $(3; 3)$. --- **3) Проверка:** Убедитесь, что: * Графики представляют собой прямые линии. * В пункте **а** точка $(-5; -5)$ выколота. * В пункте **б** точки $(-3; -3)$ и $(3; 3)$ выколоты. --- ### Подробное объяснение и построение #### Пункт 1. Анализ дробей * В выражении а) числитель и знаменатель имеют общий множитель $(x + 5)$. * В выражении б) числитель и знаменатель имеют общий множитель $(x^2 - 9) = (x - 3)(x + 3)$. После сокращения графиками становятся обычные прямые линии, однако из-за исходного знаменателя функции не определены в некоторых точках. На графике эти значения обозначаются не сплошной линией, а «дырками» (выколотыми точками). --- #### Пункт 2. Выполнение заданий ##### **Задание а)** $y = \dfrac{x^2 - 25}{2x + 10}$ 1. **Область определения:** Знаменатель не должен быть равен нулю: $$2x + 10 \neq 0 \implies 2x \neq -10 \implies x \neq -5$$ Область определения: все числа, кроме $x = -5$. 2. **Упрощение формулы:** Разложим числитель по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем общий множитель $2$: $$y = \frac{(x - 5)(x + 5)}{2(x + 5)}$$ Сокращаем на $(x + 5)$ при условии $x \neq -5$: $$y = \frac{x - 5}{2} = 0{,}5x - 2{,}5$$ 3. **Координаты выколотой точки:** Подставим $x = -5$ в полученное линейное уравнение: $$y = 0{,}5 \cdot (-5) - 2{,}5 = -2{,}5 - 2{,}5 = -5$$ Выколотая точка: **$(-5; -5)$**. 4. **Построение:** Для построения прямой $y = 0{,}5x - 2{,}5$ выберем две удобные точки: * если $x = 1$, то $y = 0{,}5 \cdot 1 - 2{,}5 = -2 \implies (1; -2)$; * если $x = 5$, то $y = 0{,}5 \cdot 5 - 2{,}5 = 0 \implies (5; 0)$. Проводим прямую через эти точки и отмечаем точку $(-5; -5)$ пустым кружком. --- ##### **Задание б)** $y = \dfrac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$ 1. **Область определения:** Знаменатель не должен быть равен нулю: $$x^2 - 9 \neq 0 \implies (x - 3)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 3 \text{ и } x \neq -3$$ Область определения: все числа, кроме $x = 3$ и $x = -3$. 2. **Упрощение формулы:** Вынесем в числителе общий множитель $x$: $$y = \frac{x(x^2 - 9)}{x^2 - 9}$$ Сокращаем на $(x^2 - 9)$ при условии $x \neq \pm 3$: $$y = x$$ 3. **Координаты выколотых точек:** * при $x = 3 \implies y = 3$, точка **$(3; 3)$**; * при $x = -3 \implies y = -3$, точка **$(-3; -3)$**. 4. **Построение:** График функции $y = x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$ и точку $(1; 1)$ (биссектриса I и III координатных четвертей). Проводим прямую и обозначаем точки $(-3; -3)$ и $(3; 3)$ пустыми кружками. --- #### Пункт 3. Взаимопроверка При проверке работы напарника обратите внимание на частые ошибки: 1. Забыли найти область определения до сокращения дроби. 2. Построили сплошную прямую, не выколов точки. 3. Неверно посчитали $y$-координату для выколотых точек.