ГДЗ по Алгебре за 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков ответ на номер 42

### Ответ а) $-\dfrac{a}{b}$ б) $-\dfrac{5}{x^2}$ в) $-\dfrac{3}{b}$ г) $-\dfrac{1}{3}$ д) $-\dfrac{a + 5}{3}$ е) $-\dfrac{3}{x - 1}$ $\left(\text{или } \dfrac{3}{1 - x}\right)$ ж) $\dfrac{2(2b - a)(2b + a)}{(a - b)^2}$ з) $b - 2$ --- ### Подробное решение Чтобы сократить дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители, при необходимости вынести знак «минус» за скобки (помня, что $y - x = -(x - y)$ и $(y - x)^2 = (x - y)^2$), а затем разделить числитель и знаменатель на их общий множитель. --- **а)** $\dfrac{a(x - 2y)}{b(2y - x)}$ Заметим, что $2y - x = -(x - 2y)$. Вынесем знак «минус»: $$\dfrac{a(x - 2y)}{b(2y - x)} = \dfrac{a(x - 2y)}{-b(x - 2y)} = -\dfrac{a}{b}$$ --- **б)** $\dfrac{5x(x - y)}{x^3(y - x)}$ Поменяем знак в скобках знаменателя: $y - x = -(x - y)$. Затем сократим дробь на общий множитель $x(x - y)$: $$\dfrac{5x(x - y)}{x^3(y - x)} = \dfrac{5x(x - y)}{-x^3(x - y)} = -\dfrac{5}{x^2}$$ --- **в)** $\dfrac{3a - 36}{12b - ab}$ 1. Вынесем общий множитель $3$ в числителе: $3(a - 12)$. 2. Вынесем общий множитель $b$ в знаменателе: $b(12 - a) = -b(a - 12)$. 3. Сократим на $(a - 12)$: $$\dfrac{3a - 36}{12b - ab} = \dfrac{3(a - 12)}{b(12 - a)} = \dfrac{3(a - 12)}{-b(a - 12)} = -\dfrac{3}{b}$$ --- **г)** $\dfrac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b}$ 1. В числителе вынесем $7b$: $7b(1 - 2b)$. 2. В знаменателе вынесем $21b$: $21b(2b - 1) = -21b(1 - 2b)$. 3. Сократим дробь на $7b(1 - 2b)$: $$\dfrac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b} = \dfrac{7b(1 - 2b)}{-21b(1 - 2b)} = -\dfrac{7b}{21b} = -\dfrac{1}{3}$$ --- **д)** $\dfrac{25 - a^2}{3a - 15}$ 1. В числителе применим формулу разности квадратов: $25 - a^2 = (5 - a)(5 + a)$. 2. В знаменателе вынесем $3$: $3(a - 5) = -3(5 - a)$. 3. Сократим на $(5 - a)$: $$\dfrac{25 - a^2}{3a - 15} = \dfrac{(5 - a)(5 + a)}{-3(5 - a)} = -\dfrac{5 + a}{3} = -\dfrac{a + 5}{3}$$ --- **е)** $\dfrac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1}$ 1. В числителе вынесем $3$: $3(1 - x) = -3(x - 1)$. 2. В знаменателе применим формулу квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. 3. Сократим на $(x - 1)$: $$\dfrac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1} = \dfrac{-3(x - 1)}{(x - 1)^2} = -\dfrac{3}{x - 1}$$ --- **ж)** $\dfrac{8b^2 - 2a^2}{a^2 - 2ab + b^2}$ 1. В числителе вынесем общий множитель $2$, затем применим формулу разности квадратов: $$8b^2 - 2a^2 = 2(4b^2 - a^2) = 2(2b - a)(2b + a)$$ 2. В знаменателе свернем формулу квадрата разности: $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$ 3. Запишем дробь в разложенном виде: $$\dfrac{8b^2 - 2a^2}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{2(2b - a)(2b + a)}{(a - b)^2}$$ --- **з)** $\dfrac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2}$ Так как квадрат противоположного выражения равен квадрату самого выражения, то $(2 - b)^2 = (b - 2)^2$. Сократим дробь на $(b - 2)^2$: $$\dfrac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2} = \dfrac{(b - 2)^3}{(b - 2)^2} = b - 2$$