1.В треугольнике АВС угол С равен 90^0, СН- высота, АС=14, sin А=2√6/7. Найдите ВН.

### Задача 1 В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): 1. Найдем катет $BC$: $\sin A = \frac{BC}{AB}$. Также $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{6}}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{24}{49}} = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7}$. 2. Из $\cos A = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \frac{5}{7} = \frac{14}{AB} \Rightarrow AB = \frac{14 \cdot 7}{5} = 19.6$. 3. Теперь найдем катет $BC$: $BC = AB \cdot \sin A = 19.6 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 2.8 \cdot 2\sqrt{6} = 5.6\sqrt{6}$. 4. В $\triangle ABC$ высота $CH$ проведена к гипотенузе. В прямоугольном $\triangle CBH$ ($\angle BHC = 90^\circ$): $\angle HCB = \angle A$ (так как оба дополняют $\angle B$ до $90^\circ$). 5. $BH = BC \cdot \sin HCB = BC \cdot \sin A = 5.6\sqrt{6} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 0.8\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 1.6 \cdot 6 = 9.6$. **Ответ: 9.6** ### Задача 2 В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагональ $AC_1 = \sqrt{AC^2 + AA_1^2}$. Однако нам дано $AC$ как отрезок в основании. Для диагонали параллелепипеда нужна диагональ основания $BD$ или $AC$ (как диагональ прямоугольника $ABCD$). В основании $ABCD$: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ (здесь $AC$ — это отрезок 25, видимо, диагональ основания). Диагональ параллелепипеда $d = \sqrt{AB^2 + BC^2 + AA_1^2}$. Так как $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 25^2 = 625$, то $d = \sqrt{625 + 17^2} = \sqrt{625 + 289} = \sqrt{914}$. **Ответ: $\sqrt{914}$** ### Задача 3 1. В $\triangle ABC$ ($AB=BC=20$, $AC=24$). Проведем высоту $BK$ к $AC$. В $\triangle ABK$: $AK = 12$, $AB = 20$, тогда $BK = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$. 2. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ — это перпендикуляр $BH$ из $B$ на $\alpha$. Так как $BK \perp AC$, то $HK \perp AC$ (по теореме о трех перпендикулярах). Угол между плоскостями равен $\angle BKH = 30^\circ$. 3. В прямоугольном $\triangle BKH$: $BH = BK \cdot \sin 30^\circ = 16 \cdot 0.5 = 8$. **Ответ: 8** ### Задача 4 1. Основание — прямоугольный $\triangle ABC$ с катетами $2\sqrt{6}$ и $2\sqrt{6}$. Гипотенуза $AB = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{24+24} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. 2. Сечение проходит через $AB$ и $C_1$. Это $\triangle ABC_1$. Его площадь $S = 0.5 \cdot AB \cdot C_1K$, где $C_1K$ — высота сечения, опущенная на $AB$. 3. Проекция $C_1K$ на основание — это высота $CK$ в $\triangle ABC$. $CK = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}}{4\sqrt{3}} = \frac{24}{4\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$. 4. Угол наклона $30^\circ$ между $C_1K$ и $CK$. Тогда $C_1K = \frac{CK}{\cos 30^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 4$. 5. $S = 0.5 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$. **Ответ: $8\sqrt{3}$** ### Задача 5 1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 8, рассмотрим $\triangle BA_1C$. 2. Стороны этого треугольника — диагонали граней куба: $BA_1 = A_1C = CB = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. 3. Треугольник $BA_1C$ — равносторонний. 4. Угол между прямыми $BA_1$ и $AC$ равен углу между $BA_1$ и $A_1C'$ (где $A_1C' \parallel AC$), то есть $60^\circ$. **Ответ: $60^\circ$**