Билет № 3. 1) Сформулируйте определение и свойства прямоугольника. 2) Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 3) Найдите величину (в градусах) вписанного угла, опирающегося на хорду АВ, равную радиусу окружности. 4) В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

### Билет № 3 **1) Теорема Пифагора:** В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. *Доказательство:* Один из классических способов — геометрический. Построим квадрат со стороной $(a+b)$. Его площадь равна $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. С другой стороны, этот же квадрат можно составить из 4 прямоугольных треугольников с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$, а также квадрата со стороной $c$ в центре. Площадь этого квадрата: $4 \cdot (\frac{1}{2}ab) + c^2 = 2ab + c^2$. Приравниваем: $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$. Отсюда $a^2 + b^2 = c^2$. **2) Свойства прямоугольного треугольника:** 1. Сумма острых углов равна $90^\circ$. 2. Гипотенуза всегда больше любого из катетов. 3. Катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. 4. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. **3) Угол, опирающийся на хорду:** Вписанный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен половине дуги $AB$. Если центральный угол, опирающийся на эту же дугу, равен $\alpha$, то вписанный угол равен $\frac{\alpha}{2}$. **4) Угол между высотой и биссектрисой:** В треугольнике $ABC$ даны углы $\angle A = 20^\circ$ и $\angle C = 60^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - 20^\circ - 60^\circ = 100^\circ$. Пусть $BH$ — высота, $BD$ — биссектриса. Угол между ними вычисляется по формуле: $\frac{|\angle A - \angle C|}{2}$. $\angle = \frac{|20^\circ - 60^\circ|}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$. **Ответ:** $20^\circ$.