sin x + sin 2x = cos x + 2 cos^2 x

Для решения уравнения $\sin x + \sin 2x = \cos x + 2 \cos^2 x$ выполним следующие шаги: 1. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $\sin x + 2 \sin x \cos x = \cos x + 2 \cos^2 x$ 2. Перенесем все слагаемые в левую часть: $\sin x + 2 \sin x \cos x - \cos x - 2 \cos^2 x = 0$ 3. Сгруппируем слагаемые: $(\sin x - \cos x) + (2 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x) = 0$ $(\sin x - \cos x) + 2 \cos x (\sin x - \cos x) = 0$ 4. Вынесем общий множитель $(\sin x - \cos x)$ за скобки: $(\sin x - \cos x)(1 + 2 \cos x) = 0$ 5. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: а) $\sin x - \cos x = 0$ Разделим на $\cos x$ (так как $\cos x \neq 0$ в этом случае): $\tan x = 1$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $1 + 2 \cos x = 0$ $2 \cos x = -1$ $\cos x = -\frac{1}{2}$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.