108. (ОБЗ) Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения P (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: P=σST^4, где σ=5,7·10^-8 Вт/(м^2·К^4) – постоянная, площадь поверхности S измеряется в квадратных метрах, а температура T – в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности S=1/128·10^20 м^2, а излучаемая ею мощность P равна 1,14·10^25 Вт. Определите температуру этой звезды. Дайте ответ в градусах Кельвина.

Question

Вопрос:

108. (ОБЗ) Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения P (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: P=σST^4, где σ=5,7·10^-8 Вт/(м^2·К^4) – постоянная, площадь поверхности S измеряется в квадратных метрах, а температура T – в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности S=1/128·10^20 м^2, а излучаемая ею мощность P равна 1,14·10^25 Вт. Определите температуру этой звезды. Дайте ответ в градусах Кельвина.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся формулой закона Стефана-Больцмана: $P = \sigma S T^4$. Нам нужно найти температуру $T$. Выразим её из формулы: $T^4 = \frac{P}{\sigma S}$ $T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}$ Подставим известные значения: $P = 1{,}14 \cdot 10^{25}$ $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ $S = \frac{1}{128} \cdot 10^{20} = 0{,}0078125 \cdot 10^{20} = 7{,}8125 \cdot 10^{17}$ Вычислим значение под корнем: 1) Знаменатель: $\sigma \cdot S = (5{,}7 \cdot 10^{-8}) \cdot (7{,}8125 \cdot 10^{17}) = (5{,}7 \cdot 7{,}8125) \cdot 10^{-8+17} = 44{,}53125 \cdot 10^9 = 4{,}453125 \cdot 10^{10}$ 2) Дробь: $\frac{1{,}14 \cdot 10^{25}}{4{,}453125 \cdot 10^{10}} = \frac{1{,}14}{4{,}453125} \cdot 10^{15} \approx 0{,}256 \cdot 10^{15} = 256 \cdot 10^{12}$ Теперь извлечем корень четвертой степени: $T = \sqrt[4]{256 \cdot 10^{12}} = \sqrt[4]{256} \cdot \sqrt[4]{10^{12}} = 4 \cdot 10^3 = 4000 \text{ K}$. **Ответ: 4000 К.**

Ответ ассистента

Другие решения