ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 2 - 63

При решении используются свойства степеней: - при возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$; - при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^n \cdot a^m = a^{n + m}$; - при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $a^n : a^m = a^{n - m}$. 1) Применим правило возведения степени в степень и выполним деление: $$ 2^{20} : (2^8)^2 = 2^{20} : 2^{8 \cdot 2} = 2^{20} : 2^{16} = 2^{20 - 16} = 2^4 = 16 $$ 2) Возведем степени в степень в делимом и делителе, затем выполним деление: $$ (11^3)^4 : (11^5)^2 = 11^{3 \cdot 4} : 11^{5 \cdot 2} = 11^{12} : 11^{10} = 11^{12 - 10} = 11^2 = 121 $$ 3) Сначала возведем степень в степень, затем последовательно выполним умножение и деление: $$ 7^9 \cdot (7^2)^6 : 7^{19} = 7^9 \cdot 7^{2 \cdot 6} : 7^{19} = 7^9 \cdot 7^{12} : 7^{19} = 7^{9 + 12 - 19} = 7^2 = 49 $$ 4) Представим основания чисел в виде степеней с основанием $2$ ($16 = 2^4$, $8 = 2^3$): $$ 16^2 \cdot 8 = (2^4)^2 \cdot 2^3 = 2^{4 \cdot 2} \cdot 2^3 = 2^8 \cdot 2^3 = 2^{8 + 3} = 2^{11} = 2048 $$ 5) Упростим отдельно числитель и знаменатель дроби, после чего разделим степени: $$ \frac{10^{17} \cdot (10^2)^3}{(10^3)^4 \cdot 10^9} = \frac{10^{17} \cdot 10^{2 \cdot 3}}{10^{3 \cdot 4} \cdot 10^9} = \frac{10^{17} \cdot 10^6}{10^{12} \cdot 10^9} = \frac{10^{17 + 6}}{10^{12 + 9}} = \frac{10^{23}}{10^{21}} = 10^{23 - 21} = 10^2 = 100 $$ 6) Представим числа в числителе в виде степеней с основанием $3$ ($9 = 3^2$, $81 = 3^4$): $$ \frac{9^3 \cdot 81^2}{3^{12}} = \frac{(3^2)^3 \cdot (3^4)^2}{3^{12}} = \frac{3^{2 \cdot 3} \cdot 3^{4 \cdot 2}}{3^{12}} = \frac{3^6 \cdot 3^8}{3^{12}} = \frac{3^{6 + 8}}{3^{12}} = \frac{3^{14}}{3^{12}} = 3^{14 - 12} = 3^2 = 9 $$ **Ответ:** 1) $2^4 = 16$; 2) $11^2 = 121$; 3) $7^2 = 49$; 4) $2^{11} = 2048$; 5) $10^2 = 100$; 6) $3^2 = 9$.