ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 3 - 82

Упростим знаменатель дроби, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $$ (x^3 + x - 2) + (3x^3 + x) = x^3 + x - 2 + 3x^3 + x = 4x^3 + 2x - 2 $$ Исходное выражение принимает вид: $$ \frac{9x^6 - 2x^3 + 1}{4x^3 + 2x - 2} $$ Исследуем числитель дроби: $9x^6 - 2x^3 + 1$. Выделим полный квадрат, представив выражение относительно $x^3$: $$ 9x^6 - 2x^3 + 1 = (3x^3)^2 - 2 \cdot 3x^3 \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(1 - \frac{1}{9}\right) = \left(3x^3 - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{8}{9} $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $\left(3x^3 - \frac{1}{3}\right)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$. Следовательно: $$ \left(3x^3 - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{8}{9} \ge \frac{8}{9} > 0 $$ Числитель дроби всегда положителен при любых значениях $x$. Исследуем знаменатель дроби: $4x^3 + 2x - 2$. Знак всей дроби зависит от знака знаменателя: * При $x = 1$: знаменатель равен $4 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1 - 2 = 4 > 0$, значение дроби равно $\frac{9 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2 > 0$. * При $x = 0$: числитель равен $1 > 0$, а знаменатель равен $4 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0 - 2 = -2 < 0$. Значение дроби равно: $$ \frac{1}{-2} = -0{,}5 < 0 $$ * При $x \approx 0{,}59$ знаменатель обращается в $0$, то есть выражение не определено. Таким образом, в записанном виде дробное выражение не может принимать только положительные значения при всех $x$, так как при $x \le 0$ оно отрицательно (в условии приведена опечатка в знаменателе либо знак деления возник ошибочно при слиянии заданий). --- Если в задании требовалось исследовать многочлен из числителя: $$ 9x^6 - 2x^3 + 1 $$ 1. **Доказательство положительности:** Как показано выше при выделении полного квадрата: $$ 9x^6 - 2x^3 + 1 = \left(3x^3 - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{8}{9} $$ Поскольку $\left(3x^3 - \frac{1}{3}\right)^2 \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, то значение выражения всегда не меньше $\frac{8}{9}$, а значит, строго больше нуля при любых значениях $x$. 2. **Наименьшее значение:** Выражение принимает наименьшее значение, когда слагаемое в квадрате равно нулю: $$ 3x^3 - \frac{1}{3} = 0 \implies 3x^3 = \frac{1}{3} \implies x^3 = \frac{1}{9} \implies x = \frac{1}{\sqrt[3]{9}} $$ При этом наименьшее значение выражения равно $\frac{8}{9}$. *(Примечание: если в исходном многочлене члены с нечётной степенью взаимно уничтожались и выражение имело вид $9x^6 + 1$, то так как $x^6 \ge 0$, выражение $9x^6 + 1 \ge 1 > 0$ всегда положительно, а его наименьшее значение равно $1$ при $x = 0$.)* **Ответ:** для многочлена $9x^6 - 2x^3 + 1$ наименьшее значение равно $\frac{8}{9}$ при $x = \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ (для выражения $9x^6 + 1$ — наименьшее значение равно $1$ при $x = 0$). Дробное выражение при наличии знаменателя $4x^3 + 2x - 2$ при $x = 0$ принимает отрицательное значение $-\frac{1}{2}$.