ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1067

**1)** $(x + y)^2 + (x - 3)^2 = 0$ Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то есть $(x + y)^2 \ge 0$ и $(x - 3)^2 \ge 0$, их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое одновременно равно нулю. Составим и решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 3 = 0, \\ x + y = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения: $$ x = 3 $$ Подставим полученное значение $x$ во второе уравнение: $$ 3 + y = 0 \implies y = -3 $$ Ответ: $(3; -3)$. --- **2)** $(x + 2y - 3)^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$ Свернем выражение $x^2 - 4xy + 4y^2$ по формуле квадрата разности: $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$. Уравнение принимает вид: $$ (x + 2y - 3)^2 + (x - 2y)^2 = 0 $$ Сумма квадратов равна нулю, если оба выражения равны нулю: $$ \begin{cases} x - 2y = 0, \\ x + 2y - 3 = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x$: $$ x = 2y $$ Подставим во второе уравнение: $$ 2y + 2y - 3 = 0 $$ $$ 4y = 3 $$ $$ y = 0{,}75 $$ Найдем значение $x$: $$ x = 2 \cdot 0{,}75 = 1{,}5 $$ Ответ: $(1{,}5; 0{,}75)$. --- **3)** $|x - 3y - 6| + (9x + 6y - 32)^2 = 0$ Модуль числа и квадрат числа всегда неотрицательны: $|x - 3y - 6| \ge 0$ и $(9x + 6y - 32)^2 \ge 0$. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю: $$ \begin{cases} x - 3y - 6 = 0, \\ 9x + 6y - 32 = 0 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $$ x = 3y + 6 $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ 9(3y + 6) + 6y - 32 = 0 $$ $$ 27y + 54 + 6y - 32 = 0 $$ $$ 33y + 22 = 0 $$ $$ 33y = -22 $$ $$ y = -\frac{22}{33} = -\frac{2}{3} $$ Найдем $x$: $$ x = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 6 = -2 + 6 = 4 $$ Ответ: $\left(4; -\frac{2}{3}\right)$. --- **4)** $x^2 + y^2 + 10x - 12y + 61 = 0$ Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты: $$ (x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 12y + 36) + 61 - 25 - 36 = 0 $$ $$ (x + 5)^2 + (y - 6)^2 + 0 = 0 $$ $$ (x + 5)^2 + (y - 6)^2 = 0 $$ Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: $$ \begin{cases} x + 5 = 0, \\ y - 6 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x = -5, \\ y = 6 \end{cases} $$ Ответ: $(-5; 6)$. --- **5)** $25x^2 + 10y^2 - 30xy + 8y + 16 = 0$ Представим $10y^2$ в виде суммы $9y^2 + y^2$ и сгруппируем слагаемые: $$ (25x^2 - 30xy + 9y^2) + (y^2 + 8y + 16) = 0 $$ Применим формулы сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы): $$ (5x - 3y)^2 + (y + 4)^2 = 0 $$ Сумма двух квадратов равна нулю, если каждое слагаемое равно нулю: $$ \begin{cases} y + 4 = 0, \\ 5x - 3y = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения: $$ y = -4 $$ Подставим значение $y$ во второе уравнение: $$ 5x - 3 \cdot (-4) = 0 $$ $$ 5x + 12 = 0 $$ $$ 5x = -12 $$ $$ x = -2{,}4 $$ Ответ: $(-2{,}4; -4)$.