ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1069

1) $$ \begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{5}{y} = 15, \\ \dfrac{3}{x} + \dfrac{8}{y} = 23. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Решим систему методом замены переменных. Пусть $\dfrac{1}{x} = u$, а $\dfrac{1}{y} = v$. Тогда система принимает вид: $$ \begin{cases} 2u + 5v = 15, \\ 3u + 8v = 23. \end{cases} $$ Решим её методом сложения. Умножим первое уравнение на $3$, а второе — на $-2$: $$ \begin{cases} 6u + 15v = 45, \\ -6u - 16v = -46. \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения системы: $$ (6u - 6u) + (15v - 16v) = 45 - 46 $$ $$ -v = -1 $$ $$ v = 1 $$ Подставим найденное значение $v = 1$ в первое уравнение $2u + 5v = 15$: $$ 2u + 5 \cdot 1 = 15 $$ $$ 2u = 15 - 5 $$ $$ 2u = 10 $$ $$ u = 5 $$ Вернемся к переменным $x$ и $y$: $$ \dfrac{1}{x} = 5 \implies x = \dfrac{1}{5} = 0{,}2 $$ $$ \dfrac{1}{y} = 1 \implies y = 1 $$ Оба значения удовлетворяют условиям $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Ответ: $(0{,}2; 1)$. --- 2) $$ \begin{cases} \dfrac{5}{2x - 3y} + \dfrac{10}{3x - 2y} = 3, \\ \dfrac{20}{3x - 2y} - \dfrac{15}{2x - 3y} = 1. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $2x - 3y \neq 0$ и $3x - 2y \neq 0$. Перепишем систему, упорядочив слагаемые: $$ \begin{cases} \dfrac{5}{2x - 3y} + \dfrac{10}{3x - 2y} = 3, \\ -\dfrac{15}{2x - 3y} + \dfrac{20}{3x - 2y} = 1. \end{cases} $$ Введем новые переменные: пусть $\dfrac{1}{2x - 3y} = a$, а $\dfrac{1}{3x - 2y} = b$. Получаем систему: $$ \begin{cases} 5a + 10b = 3, \\ -15a + 20b = 1. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $3$: $$ \begin{cases} 15a + 30b = 9, \\ -15a + 20b = 1. \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения: $$ (15a - 15a) + (30b + 20b) = 9 + 1 $$ $$ 50b = 10 $$ $$ b = \dfrac{10}{50} = \dfrac{1}{5} $$ Подставим значение $b = \dfrac{1}{5}$ в уравнение $5a + 10b = 3$: $$ 5a + 10 \cdot \dfrac{1}{5} = 3 $$ $$ 5a + 2 = 3 $$ $$ 5a = 1 $$ $$ a = \dfrac{1}{5} $$ Вернемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} \dfrac{1}{2x - 3y} = \dfrac{1}{5}, \\ \dfrac{1}{3x - 2y} = \dfrac{1}{5}, \end{cases} \implies \begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ 3x - 2y = 5. \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (3x - 2x) + (-2y - (-3y)) = 5 - 5 $$ $$ x + y = 0 \implies y = -x $$ Подставим $y = -x$ в первое уравнение $2x - 3y = 5$: $$ 2x - 3(-x) = 5 $$ $$ 2x + 3x = 5 $$ $$ 5x = 5 $$ $$ x = 1 $$ Найдем значение $y$: $$ y = -1 $$ Проверим знаменатели: $2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) = 5 \neq 0$ и $3 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 5 \neq 0$. Ответ: $(1; -1)$.