ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1204

**№ 1204** Преобразуем данное выражение: $$ n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 $$ Сгруппируем множители парами так, чтобы у получающихся многочленов совпали первые два слагаемых (для этого объединим первый множитель с четвёртым, а второй с третьим): $$ (n(n + 6)) \cdot ((n + 2)(n + 4)) + 16 $$ Раскроем скобки в каждой паре: $$ (n^2 + 6n)(n^2 + 6n + 8) + 16 $$ Пусть $t = n^2 + 6n$. Подставим $t$ в выражение: $$ t(t + 8) + 16 = t^2 + 8t + 16 $$ Применим формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$: $$ t^2 + 2 \cdot 4 \cdot t + 4^2 = (t + 4)^2 $$ Вернемся к переменной $n$: $$ (n^2 + 6n + 4)^2 $$ Так как по условию $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то значение выражения $n^2 + 6n + 4$ также является натуральным числом как сумма натуральных чисел: $$ n^2 + 6n + 4 \in \mathbb{N} $$ Следовательно, исходное выражение равно квадрату натурального числа $n^2 + 6n + 4$ при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.