ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1206

Разложим выражение $n^4 - 1$ на множители, последовательно применяя формулу разности квадратов: $$ n^4 - 1 = (n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) $$ Так как натуральное число $n$ не делится на 5, при делении на 5 оно может давать только остатки 1, 2, 3 или 4. Рассмотрим все возможные случаи, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$): 1) Если $n = 5k + 1$, то: $$ n - 1 = (5k + 1) - 1 = 5k $$ Множитель $n - 1$ делится на 5, а значит, и всё произведение $(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$ делится нацело на 5. 2) Если $n = 5k + 4$, то: $$ n + 1 = (5k + 4) + 1 = 5k + 5 = 5(k + 1) $$ Множитель $n + 1$ делится на 5, следовательно, всё выражение делится нацело на 5. 3) Если $n = 5k + 2$, то: $$ n^2 + 1 = (5k + 2)^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 4 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 = 5(5k^2 + 4k + 1) $$ Множитель $n^2 + 1$ делится на 5, следовательно, всё выражение делится нацело на 5. 4) Если $n = 5k + 3$, то: $$ n^2 + 1 = (5k + 3)^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 9 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 = 5(5k^2 + 6k + 2) $$ Множитель $n^2 + 1$ делится на 5, следовательно, всё выражение делится нацело на 5. Таким образом, при любом натуральном значении $n$, не кратном 5, хотя бы один из множителей делится на 5. Значит, значение выражения $n^4 - 1$ делится нацело на 5, что и требовалось доказать.