ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1203

Преобразуем исходное выражение, сгруппировав множители: первый с четвёртым и второй с третьим. $$ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = \bigl(n(n + 3)\bigr) \cdot \bigl((n + 1)(n + 2)\bigr) + 1 $$ Раскроем скобки в каждой группе: $$ n(n + 3) = n^2 + 3n $$ $$ (n + 1)(n + 2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2 $$ Подставим полученные выражения: $$ (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1 $$ Пусть $n^2 + 3n = t$. Тогда выражение принимает вид: $$ t(t + 2) + 1 = t^2 + 2t + 1 $$ Используя формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$, свернем выражение: $$ t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2 $$ Вернемся к переменной $n$, подставив $t = n^2 + 3n$: $$ (n^2 + 3n + 1)^2 $$ Так как по условию $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то значение выражения $n^2 + 3n + 1$ также является натуральным числом как сумма натуральных чисел и единицы. Следовательно, при любом натуральном $n$ значение исходного выражения равно квадрату натурального числа $n^2 + 3n + 1$. Что и требовалось доказать.