ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1205

Пусть $n$ — данное натуральное число. По условию число $n$ не кратно 3, поэтому при делении на 3 оно может давать в остатке только 1 или 2. Это означает, что число $n$ можно представить в одном из двух видов: 1) $n = 3k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число; 2) $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число. Рассмотрим каждый случай для разности квадрата этого числа и числа 1, то есть для выражения $n^2 - 1$: **Случай 1.** Пусть $n = 3k + 1$. Подставим это выражение и применим формулу квадрата суммы: $$n^2 - 1 = (3k + 1)^2 - 1$$ $$n^2 - 1 = 9k^2 + 6k + 1 - 1$$ $$n^2 - 1 = 9k^2 + 6k$$ Вынесем общий множитель 3 за скобки: $$n^2 - 1 = 3(3k^2 + 2k)$$ Так как $k$ — целое неотрицательное число, то выражение $(3k^2 + 2k)$ является целым числом. Значит, произведение $3(3k^2 + 2k)$ делится нацело на 3. **Случай 2.** Пусть $n = 3k + 2$. Подставим это выражение и применим формулу квадрата суммы: $$n^2 - 1 = (3k + 2)^2 - 1$$ $$n^2 - 1 = 9k^2 + 12k + 4 - 1$$ $$n^2 - 1 = 9k^2 + 12k + 3$$ Вынесем общий множитель 3 за скобки: $$n^2 - 1 = 3(3k^2 + 4k + 1)$$ Так как $k$ — целое неотрицательное число, то выражение $(3k^2 + 4k + 1)$ является целым числом. Значит, произведение $3(3k^2 + 4k + 1)$ делится нацело на 3. Таким образом, в обоих возможных случаях значение выражения $n^2 - 1$ кратно 3, что и требовалось доказать.