ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1208

Разложим выражение $n^7 - n$ на множители, последовательно вынося общий множитель за скобки и применяя формулы сокращённого умножения: $$ n^7 - n = n(n^6 - 1) $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ n(n^6 - 1) = n((n^3)^2 - 1) = n(n^3 - 1)(n^3 + 1) $$ Применим формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $$ n(n^3 - 1)(n^3 + 1) = n(n - 1)(n^2 + n + 1)(n + 1)(n^2 - n + 1) $$ Переставим множители для удобства: $$ n^7 - n = (n - 1)n(n + 1)(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1) $$ Число $42$ можно представить в виде произведения взаимно простых чисел: $42 = 6 \cdot 7$. Чтобы доказать кратность всего выражения числу $42$, достаточно показать, что оно делится и на $6$, и на $7$. **1. Докажем кратность 6:** Выражение содержит произведение трех множителей $(n - 1)n(n + 1)$, которые являются тремя последовательными натуральными числами: - среди любых двух последовательных чисел хотя бы одно чётно (кратно 2); - среди любых трёх последовательных чисел ровно одно кратно 3. Так как числа 2 и 3 взаимно простые, то произведение $(n - 1)n(n + 1)$ делится на $2 \cdot 3 = 6$. Следовательно, и всё выражение $n^7 - n$ делится на 6 при любом натуральном $n$. **2. Докажем кратность 7:** При делении на 7 любое натуральное число $n$ может давать один из семи остатков: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Рассмотрим все возможные случаи (где $k$ — целое неотрицательное число): 1. Если $n = 7k$, то множитель $n$ делится на 7. 2. Если $n = 7k + 1$, то множитель $n - 1 = 7k$ делится на 7. 3. Если $n = 7k + 2$, то рассмотрим множитель $n^2 + n + 1$: $$ (7k + 2)^2 + (7k + 2) + 1 = 49k^2 + 28k + 4 + 7k + 2 + 1 = 49k^2 + 35k + 7 = 7(7k^2 + 5k + 1) $$ Этот множитель делится на 7. 4. Если $n = 7k + 3$, то рассмотрим множитель $n^2 - n + 1$: $$ (7k + 3)^2 - (7k + 3) + 1 = 49k^2 + 42k + 9 - 7k - 3 + 1 = 49k^2 + 35k + 7 = 7(7k^2 + 5k + 1) $$ Этот множитель делится на 7. 5. Если $n = 7k + 4$, то рассмотрим множитель $n^2 + n + 1$: $$ (7k + 4)^2 + (7k + 4) + 1 = 49k^2 + 56k + 16 + 7k + 4 + 1 = 49k^2 + 63k + 21 = 7(7k^2 + 9k + 3) $$ Этот множитель делится на 7. 6. Если $n = 7k + 5$, то рассмотрим множитель $n^2 - n + 1$: $$ (7k + 5)^2 - (7k + 5) + 1 = 49k^2 + 70k + 25 - 7k - 5 + 1 = 49k^2 + 63k + 21 = 7(7k^2 + 9k + 3) $$ Этот множитель делится на 7. 7. Если $n = 7k + 6$, то множитель $n + 1 = 7k + 6 + 1 = 7k + 7 = 7(k + 1)$ делится на 7. Таким образом, при любом натуральном значении $n$ хотя бы один из множителей делится на 7, а значит, и всё произведение делится на 7. Так как значение выражения $n^7 - n$ при любом натуральном $n$ одновременно делится на 6 и на 7, а $\text{НОД}(6, 7) = 1$, то оно кратно $6 \cdot 7 = 42$, что и требовалось доказать.