ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1200

Пусть $n$ — произвольное натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Тогда куб этого числа равен $n^3$, а разность куба числа и самого числа записывается в виде: $$ n^3 - n $$ Разложим данное выражение на множители: 1. Вынесем общий множитель $n$ за скобки: $$n^3 - n = n(n^2 - 1)$$ 2. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к выражению в скобках: $$n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$$ 3. Запишем множители в порядке возрастания: $$(n - 1)n(n + 1)$$ Выражение $(n - 1)n(n + 1)$ представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел: - Из двух соседних чисел одно обязательно чётное, поэтому среди трёх последовательных чисел по крайней мере одно делится на $2$. Следовательно, всё произведение кратно $2$. - Каждое третье целое число делится на $3$, поэтому среди трёх последовательных чисел ровно одно делится на $3$. Следовательно, всё произведение кратно $3$. Так как числа $2$ и $3$ взаимно простые, то число, которое делится и на $2$, и на $3$, делится и на их произведение: $$ 2 \cdot 3 = 6 $$ Следовательно, произведение $(n - 1)n(n + 1)$, а значит, и разность $n^3 - n$ делится нацело на $6$ при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.