ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 140

Тождеством называется равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Проверим каждое из данных равенств: 1) $(2a - 3b)^2 = (3b - 2a)^2$ Выражения в скобках являются противоположными: $$ 2a - 3b = -(3b - 2a) $$ Так как квадрат противоположного выражения равен квадрату самого выражения (то есть $(-x)^2 = x^2$), получаем: $$ (-(3b - 2a))^2 = (3b - 2a)^2 $$ Равенство верно при любых значениях $a$ и $b$. Является тождеством. 2) $(a - b)^3 = (b - a)^3$ Так как при возведении в нечётную степень знак сохраняется, то: $$ (b - a)^3 = (-(a - b))^3 = -(a - b)^3 $$ Приведём контрпример: пусть $a = 2$, $b = 1$. Тогда: $$ (2 - 1)^3 = 1^3 = 1 $$ $$ (1 - 2)^3 = (-1)^3 = -1 $$ Так как $1 \ne -1$, равенство верно не всегда. Не является тождеством. 3) $|a + 5| = a + 5$ По определению модуля равенство $|x| = x$ верно только при $x \ge 0$. Приведём контрпример: пусть $a = -6$. Тогда: $$ |-6 + 5| = |-1| = 1 $$ $$ -6 + 5 = -1 $$ Так как $1 \ne -1$, равенство выполняется не при всех значениях $a$. Не является тождеством. 4) $|a - b| = |b - a|$ Выражения $a - b$ и $b - a$ противоположны: $a - b = -(b - a)$. Так как модули противоположных чисел равны ($|x| = |-x|$), то: $$ |a - b| = |-(b - a)| = |b - a| $$ Равенство верно при любых значениях $a$ и $b$. Является тождеством. 5) $|a^2 + 4| = a^2 + 4$ Для любого действительного числа $a$ справедливо неравенство $a^2 \ge 0$, следовательно: $$ a^2 + 4 \ge 4 > 0 $$ Так как подмодульное выражение строго положительно при любых значениях $a$, модуль раскрывается со своим знаком: $|a^2 + 4| = a^2 + 4$. Является тождеством. 6) $|a + b| = |a| + |b|$ Модуль суммы равен сумме модулей только тогда, когда числа имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю. Приведём контрпример: пусть $a = 3$, $b = -3$. Тогда: $$ |3 + (-3)| = |0| = 0 $$ $$ |3| + |-3| = 3 + 3 = 6 $$ Так как $0 \ne 6$, равенство верно не для всех значений переменных. Не является тождеством. 7) $|a - 1| = |a| - 1$ Приведём контрпример: пусть $a = 0$. Тогда: $$ |0 - 1| = |-1| = 1 $$ $$ |0| - 1 = 0 - 1 = -1 $$ Так как $1 \ne -1$, равенство верно не для всех значений $a$. Не является тождеством. 8) $a^2 - b^2 = (a - b)^2$ Слева записана разность квадратов, а справа — квадрат разности. Раскроем квадрат разности в правой части: $$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$ Видно, что $a^2 - b^2 \ne a^2 - 2ab + b^2$. Приведём контрпример: пусть $a = 2$, $b = 1$. Тогда: $$ 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 $$ $$ (2 - 1)^2 = 1^2 = 1 $$ Так как $3 \ne 1$, равенство не является тождеством. Ответ: тождествами являются равенства 1, 4, 5.