ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 245

1) Сравним $2^{300}$ и $3^{200}$. Приведём степени к одинаковому показателю $100$, используя свойство $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$: $$ 2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100} $$ $$ 3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100} $$ Так как основания степеней положительны и $8 < 9$, то: $$ 8^{100} < 9^{100} $$ Следовательно, $2^{300} < 3^{200}$. 2) Сравним $4^{18}$ и $18^9$. Приведём первое выражение к показателю степени $9$: $$ 4^{18} = (4^2)^9 = 16^9 $$ Сравниваем $16^9$ и $18^9$. Так как $16 < 18$, то: $$ 16^9 < 18^9 $$ Следовательно, $4^{18} < 18^9$. 3) Сравним $27^{20}$ и $11^{30}$. Представим основание $27$ как $3^3$ и приведём выражение к показателю степени $30$: $$ 27^{20} = (3^3)^{20} = 3^{3 \cdot 20} = 3^{60} = (3^2)^{30} = 9^{30} $$ Сравниваем $9^{30}$ и $11^{30}$. Так как показатели одинаковы и $9 < 11$, то: $$ 9^{30} < 11^{30} $$ Следовательно, $27^{20} < 11^{30}$. 4) Сравним $3^{10} \cdot 5^8$ и $15^9$. Представим число $15$ в виде произведения простых множителей $3 \cdot 5$: $$ 15^9 = (3 \cdot 5)^9 = 3^9 \cdot 5^9 $$ Выделим в обоих выражениях общий множитель $3^9 \cdot 5^8$: $$ 3^{10} \cdot 5^8 = 3^1 \cdot 3^9 \cdot 5^8 = 3 \cdot (3^9 \cdot 5^8) $$ $$ 3^9 \cdot 5^9 = 5^1 \cdot 3^9 \cdot 5^8 = 5 \cdot (3^9 \cdot 5^8) $$ Так как $3 < 5$, а множитель $(3^9 \cdot 5^8) > 0$, то: $$ 3 \cdot (3^9 \cdot 5^8) < 5 \cdot (3^9 \cdot 5^8) $$ Следовательно, $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$. **Ответ:** 1) $2^{300} < 3^{200}$; 2) $4^{18} < 18^9$; 3) $27^{20} < 11^{30}$; 4) $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.