ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 248

1) Рассмотрим последние цифры последовательных степеней числа $4$: $4^1 = 4$; $4^2 = 16$ (оканчивается на $6$); $4^3 = 64$ (оканчивается на $4$); $4^4 = 256$ (оканчивается на $6$). Заметим закономерность: при нечётном показателе степени последняя цифра равна $4$, а при чётном — $6$. Так как показатель степени $100$ — чётное число (или по свойству степеней $4^{100} = (4^2)^{50} = 16^{50}$, а любое число, оканчивающееся на $6$, в натуральной степени оканчивается на $6$), значение выражения $4^{100}$ оканчивается цифрой $6$. 2) Преобразуем выражение, применив свойство степени: $$ 3^{4n} = (3^4)^n = 81^n $$ Число $81$ оканчивается цифрой $1$. При возведении числа, оканчивающегося на $1$, в любую натуральную степень $n$, результат всегда оканчивается на $1$. Значит, значение выражения $3^{4n}$ оканчивается цифрой $1$. 3) Как было определено в пункте 1, последние цифры степеней числа $4$ чередуются: $4, 6, 4, 6, \dots$ - если $n$ — нечётное число, то значение выражения $4^n$ оканчивается цифрой $4$; - если $n$ — чётное число, то значение выражения $4^n$ оканчивается цифрой $6$. 4) Рассмотрим последние цифры последовательных степеней числа $3$: $3^1 = 3$; $3^2 = 9$; $3^3 = 27$ (оканчивается на $7$); $3^4 = 81$ (оканчивается на $1$); $3^5 = 243$ (оканчивается на $3$). Последние цифры повторяются с периодом $4$: $3, 9, 7, 1$. Поэтому последняя цифра зависит от остатка от деления показателя $n$ на $4$ ($k$ — натуральное число): - если $n = 4k - 3$ (остаток $1$ при делении на $4$), то выражение оканчивается цифрой $3$; - если $n = 4k - 2$ (остаток $2$ при делении на $4$), то выражение оканчивается цифрой $9$; - если $n = 4k - 1$ (остаток $3$ при делении на $4$), то выражение оканчивается цифрой $7$; - если $n = 4k$ ($n$ делится на $4$ без остатка), то выражение оканчивается цифрой $1$. **Ответ:** 1) $6$; 2) $1$; 3) цифрой $4$, если $n$ нечётное; цифрой $6$, если $n$ чётное; 4) цифрой $3$, если $n = 4k - 3$; цифрой $9$, если $n = 4k - 2$; цифрой $7$, если $n = 4k - 1$; цифрой $1$, если $n = 4k$ ($k \in \mathbb{N}$).