ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 251

1) Определим последнюю цифру числа $4^{40}$. Рассмотрим, какой цифрой оканчиваются последовательные степени числа 4: $$ 4^1 = 4 $$ $$ 4^2 = 16 $$ $$ 4^3 = 64 $$ $$ 4^4 = 256 $$ Заметим закономерность: при нечётном показателе степени число $4^n$ оканчивается цифрой 4, а при чётном показателе — цифрой 6. Показатель степени 40 — чётное число, следовательно, число $4^{40}$ оканчивается цифрой 6. Тогда значение разности $4^{40} - 1$ оканчивается цифрой: $$ 6 - 1 = 5 $$ По признаку делимости число, оканчивающееся цифрой 5, делится нацело на 5. Значит, значение выражения $4^{40} - 1$ делится на 5. 2) Определим последнюю цифру числа $2004^{171} + 171^{2004}$. Последняя цифра степени натурального числа зависит только от последней цифры основания: * Число $2004^{171}$ оканчивается той же цифрой, что и $4^{171}$. Так как показатель степени 171 — нечётное число, то $2004^{171}$ оканчивается цифрой 4. * Число $171^{2004}$ оканчивается цифрой 1, так как любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также оканчивается цифрой 1 ($1^n = 1$). Тогда сумма $2004^{171} + 171^{2004}$ оканчивается цифрой: $$ 4 + 1 = 5 $$ Так как последняя цифра суммы равна 5, данное значение делится нацело на 5. Значит, выражение $2004^{171} + 171^{2004}$ делится на 5. Утверждения доказаны.