ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 250

1) Чтобы доказать, что значение выражения $17^8 + 19$ делится нацело на 10, достаточно определить последнюю цифру этого выражения: число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой 0. Определим последнюю цифру степени $17^8$. Последняя цифра степени определяется последней цифрой её основания, то есть цифрой 7. Проследим закономерность изменения последних цифр степеней числа 7: * $7^1$ оканчивается на 7; * $7^2 = 49$ оканчивается на 9; * $7^3$ оканчивается цифрой из произведения $9 \cdot 7 = 63$, то есть на 3; * $7^4$ оканчивается цифрой из произведения $3 \cdot 7 = 21$, то есть на 1. Так как показатель степени $8$ делится нацело на 4 ($8 = 4 \cdot 2$), то: $$ 17^8 = (17^4)^2 $$ Поскольку $17^4$ оканчивается на 1, то и $(17^4)^2$ оканчивается на 1. Число 19 оканчивается цифрой 9. Сложим последние цифры слагаемых: $$ 1 + 9 = 10 $$ Значит, значение выражения $17^8 + 19$ оканчивается цифрой 0, а следовательно, делится нацело на 10. Утверждение доказано. 2) Число делится нацело на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5. Определим последнюю цифру уменьшаемого $64^{64}$. Последняя цифра степени с основанием 64 зависит от последней цифры основания — 4: * $4^1 = 4$ — оканчивается на 4 (нечётная степень); * $4^2 = 16$ — оканчивается на 6 (чётная степень); * $4^3 = 64$ — оканчивается на 4 (нечётная степень); * $4^4 = 256$ — оканчивается на 6 (чётная степень). Показатель степени 64 — чётное число, следовательно, число $64^{64}$ оканчивается цифрой 6. Вычтем единицу: последняя цифра результата равна $$ 6 - 1 = 5 $$ Значение выражения $64^{64} - 1$ оканчивается цифрой 5, следовательно, оно делится нацело на 5. Утверждение доказано. 3) Воспользуемся свойством степени степени и представим $3^{4n}$ в виде: $$ 3^{4n} = (3^4)^n = 81^n $$ Число 81 оканчивается цифрой 1. При возведении в любую натуральную степень $n$ числа, оканчивающегося на 1, в результате получается число, также оканчивающееся на 1. Значит, при любом натуральном $n$ значение выражения $3^{4n}$ оканчивается цифрой 1. Число 14 оканчивается цифрой 4. Тогда сумма $3^{4n} + 14$ оканчивается цифрой: $$ 1 + 4 = 5 $$ Так как последняя цифра значения выражения равна 5, то число $3^{4n} + 14$ делится нацело на 5 при любом натуральном $n$. Утверждение доказано.