ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 414

Упростим данное выражение, раскрыв скобки по правилу умножения многочлена на многочлен: $$ (n + 9)(n + 11) - (n + 3)(n + 5) = (n^2 + 11n + 9n + 99) - (n^2 + 5n + 3n + 15) $$ Приведём подобные слагаемые внутри скобок: $$ = (n^2 + 20n + 99) - (n^2 + 8n + 15) $$ Раскроем скобки, учитывая знак «минус» перед второй скобкой: $$ = n^2 + 20n + 99 - n^2 - 8n - 15 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ = (n^2 - n^2) + (20n - 8n) + (99 - 15) = 12n + 84 $$ Вынесем общий множитель $12$ за скобки: $$ = 12(n + 7) $$ Так как $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то значение $(n + 7)$ также является натуральным числом. Произведение $12(n + 7)$ содержит множитель $12$, следовательно, при любом натуральном значении $n$ оно делится нацело на 12. Ответ: да, при всех натуральных значениях $n$.