ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 413

1) Докажем тождество: $$ 3a^2 + 10a + 3 = 3(a + 3)\left(a + \frac{1}{3}\right) $$ Преобразуем правую часть равенства. Умножим число $3$ на двучлен во второй скобке: $$ 3\left(a + \frac{1}{3}\right) = 3 \cdot a + 3 \cdot \frac{1}{3} = 3a + 1 $$ Тогда правая часть принимает вид: $$ (a + 3)(3a + 1) $$ Выполним умножение многочленов и приведём подобные слагаемые: $$ (a + 3)(3a + 1) = a \cdot 3a + a \cdot 1 + 3 \cdot 3a + 3 \cdot 1 = 3a^2 + a + 9a + 3 = 3a^2 + 10a + 3 $$ Левая часть равна правой части: $$ 3a^2 + 10a + 3 = 3a^2 + 10a + 3 $$ Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ (a + 1)(a^2 + 5a + 6) = (a^2 + 3a + 2)(a + 3) $$ Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки: $$ (a + 1)(a^2 + 5a + 6) = a(a^2 + 5a + 6) + 1(a^2 + 5a + 6) = a^3 + 5a^2 + 6a + a^2 + 5a + 6 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ a^3 + (5a^2 + a^2) + (6a + 5a) + 6 = a^3 + 6a^2 + 11a + 6 $$ Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки: $$ (a^2 + 3a + 2)(a + 3) = a(a^2 + 3a + 2) + 3(a^2 + 3a + 2) = a^3 + 3a^2 + 2a + 3a^2 + 9a + 6 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ a^3 + (3a^2 + 3a^2) + (2a + 9a) + 6 = a^3 + 6a^2 + 11a + 6 $$ Обе части равенства равны одному и тому же выражению: $$ a^3 + 6a^2 + 11a + 6 = a^3 + 6a^2 + 11a + 6 $$ Тождество доказано. --- 3) Докажем тождество: $$ (a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) = a^5 + 1 $$ Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки: $$ (a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) = a(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) + 1(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) $$ $$ = a^5 - a^4 + a^3 - a^2 + a + a^4 - a^3 + a^2 - a + 1 $$ Сгруппируем противоположные слагаемые: $$ a^5 + (-a^4 + a^4) + (a^3 - a^3) + (-a^2 + a^2) + (a - a) + 1 = a^5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = a^5 + 1 $$ Левая часть равна правой части: $$ a^5 + 1 = a^5 + 1 $$ Тождество доказано.