ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 423

По условию, при делении натурального числа $m$ на 11 получается остаток 9, а при делении натурального числа $n$ на 11 получается остаток 5. Запишем эти числа в виде формулы деления с остатком: $m = 11k + 9$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$); $n = 11p + 5$, где $p$ — целое неотрицательное число ($p \ge 0$). Найдем произведение чисел $m$ и $n$: $$ m \cdot n = (11k + 9)(11p + 5) $$ Раскроем скобки, перемножив двучлены: $$ m \cdot n = 11k \cdot 11p + 11k \cdot 5 + 9 \cdot 11p + 9 \cdot 5 $$ $$ m \cdot n = 121kp + 55k + 99p + 45 $$ Представим число 45 в виде суммы числа, кратного 11, и остатка: $45 = 44 + 1 = 11 \cdot 4 + 1$. Подставим это в выражение: $$ m \cdot n = 121kp + 55k + 99p + 44 + 1 $$ Вынесем общий множитель 11 за скобки у первых четырех слагаемых: $$ m \cdot n = 11(11kp + 5k + 9p + 4) + 1 $$ Так как $k$ и $p$ — целые неотрицательные числа, то значение выражения $(11kp + 5k + 9p + 4)$ также является целым неотрицательным числом. Обозначим его через $q$: $$ m \cdot n = 11q + 1 $$ Так как $1 < 11$, полученная запись означает, что при делении числа $m \cdot n$ на 11 получается неполное частное $q$ и остаток 1. Что и требовалось доказать.