ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 422

По условию при делении на 8 число $a$ даёт остаток 3, а число $b$ даёт остаток 7. Это значит, что числа $a$ и $b$ можно представить в виде: $a = 8m + 3$, где $m$ — целое неотрицательное число; $b = 8n + 7$, где $n$ — целое неотрицательное число. Составим произведение чисел $a$ и $b$: $$ ab = (8m + 3)(8n + 7) $$ Раскроем скобки: $$ ab = 64mn + 56m + 24n + 21 $$ Представим число 21 в виде суммы $16 + 5$: $$ ab = 64mn + 56m + 24n + 16 + 5 $$ Вынесем общий множитель 8 у первых четырех слагаемых: $$ ab = 8(8mn + 7m + 3n + 2) + 5 $$ Так как $m$ и $n$ — целые неотрицательные числа, то выражение $(8mn + 7m + 3n + 2)$ также является целым неотрицательным числом. Таким образом, число $ab$ представлено в виде $8k + 5$, где $k = 8mn + 7m + 3n + 2$, а число 5 удовлетворяет условию для остатка ($0 \leqslant 5 < 8$). Следовательно, остаток при делении произведения чисел $a$ и $b$ на 8 равен 5, что и требовалось доказать.