ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 428

1) Докажем тождество: $$ 18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n} $$ Преобразуем правую часть равенства, представив основания степеней в виде произведений простых множителей ($12 = 2^2 \cdot 3$ и $9 = 3^2$): $$ 12^{8n} \cdot 9^{12n} = (2^2 \cdot 3)^{8n} \cdot (3^2)^{12n} $$ Применим свойства степени произведения $(ab)^m = a^m \cdot b^m$ и степени степени $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$: $$ (2^2 \cdot 3)^{8n} \cdot (3^2)^{12n} = (2^2)^{8n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{2 \cdot 12n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{24n} $$ Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, сложим показатели степени с основанием $3$: $$ 2^{16n} \cdot 3^{8n + 24n} = 2^{16n} \cdot 3^{32n} $$ Теперь преобразуем левую часть исходного равенства ($18 = 2 \cdot 3^2$): $$ 18^{16n} = (2 \cdot 3^2)^{16n} = 2^{16n} \cdot (3^2)^{16n} = 2^{16n} \cdot 3^{32n} $$ Левая и правая части выражения равны одному и тому же значению $2^{16n} \cdot 3^{32n}$. Тождество доказано. 2) Докажем тождество: $$ 75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n} $$ Преобразуем правую часть равенства, представив числа $225$ и $625$ как степени простых множителей ($225 = 3^2 \cdot 5^2$, $625 = 5^4$): $$ 225^{4n} \cdot 625^{2n} = (3^2 \cdot 5^2)^{4n} \cdot (5^4)^{2n} $$ Применим свойства степеней: $$ (3^2)^{4n} \cdot (5^2)^{4n} \cdot 5^{4 \cdot 2n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n} \cdot 5^{8n} $$ Умножим степени с одинаковым основанием $5$: $$ 3^{8n} \cdot 5^{8n + 8n} = 3^{8n} \cdot 5^{16n} $$ Теперь преобразуем левую часть исходного равенства ($75 = 3 \cdot 5^2$): $$ 75^{8n} = (3 \cdot 5^2)^{8n} = 3^{8n} \cdot (5^2)^{8n} = 3^{8n} \cdot 5^{16n} $$ Левая и правая части выражения равны одному и тому же значению $3^{8n} \cdot 5^{16n}$. Тождество доказано.