ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 469

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab} = 10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, \dots, 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, \dots, 9\}$). По условию задачи число равно произведению своих цифр, каждая из которых увеличена на $1$. Составим уравнение: $$ 10a + b = (a + 1)(b + 1) $$ Раскроем скобки в правой части уравнения: $$ 10a + b = ab + a + b + 1 $$ Вычтем $b$ из обеих частей уравнения: $$ 10a = ab + a + 1 $$ Перенесём слагаемые с переменной $a$ в левую часть: $$ 10a - a - ab = 1 $$ $$ 9a - ab = 1 $$ Вынесем общий множитель $a$ за скобки: $$ a(9 - b) = 1 $$ Так как $a$ и $b$ — цифры, то множители $a$ и $(9 - b)$ являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно $1$ только в двух случаях: 1) $\begin{cases} a = 1, \\ 9 - b = 1; \end{cases} \implies \begin{cases} a = 1, \\ b = 8. \end{cases}$ Оба значения являются допустимыми цифрами. Получаем число $18$. 2) $\begin{cases} a = -1, \\ 9 - b = -1. \end{cases}$ Этот случай не подходит, так как $a$ — цифра десятков двузначного числа, следовательно, $a \ge 1$. Выполним проверку для найденного числа $18$: Цифры числа: $1$ и $8$. Увеличим каждую цифру на $1$: $1 + 1 = 2$ и $8 + 1 = 9$. Произведение полученных чисел: $2 \cdot 9 = 18$. Условие задачи выполняется. Ответ: 18