ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 614

Для доказательства тождества преобразуем отдельно его левую и правую части. 1) Преобразуем левую часть тождества: Раскроем произведение многочленов, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй скобки: $$ (a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) = a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2 $$ Раскроем квадрат трёхчлена: $$ (am + bn + ck)^2 = (am)^2 + (bn)^2 + (ck)^2 + 2 \cdot am \cdot bn + 2 \cdot am \cdot ck + 2 \cdot bn \cdot ck $$ $$ (am + bn + ck)^2 = a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2acmk + 2bcnk $$ Вычтем из первого выражения второе: $$ (a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) - (am + bn + ck)^2 = a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2 - (a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2acmk + 2bcnk) $$ Раскроем скобки с учётом знака «минус»: $$ = a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2 - a^2m^2 - b^2n^2 - c^2k^2 - 2abmn - 2acmk - 2bcnk $$ Приведём подобные слагаемые (взаимно уничтожаются слагаемые $a^2m^2$ и $-a^2m^2$, $b^2n^2$ и $-b^2n^2$, $c^2k^2$ и $-c^2k^2$): $$ = a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 - 2abmn - 2acmk - 2bcnk $$ 2) Преобразуем правую часть тождества: Применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ к каждому слагаемому: $$ (an - bm)^2 = a^2n^2 - 2abmn + b^2m^2 $$ $$ (ak - cm)^2 = a^2k^2 - 2acmk + c^2m^2 $$ $$ (bk - cn)^2 = b^2k^2 - 2bcnk + c^2n^2 $$ Сложим полученные многочлены: $$ (an - bm)^2 + (ak - cm)^2 + (bk - cn)^2 = a^2n^2 - 2abmn + b^2m^2 + a^2k^2 - 2acmk + c^2m^2 + b^2k^2 - 2bcnk + c^2n^2 $$ Сгруппируем слагаемые в том же порядке, что и в левой части: $$ = a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 - 2abmn - 2acmk - 2bcnk $$ 3) Сравнение результатов: В результате преобразований левая и правая части тождества свелись к одному и тому же выражению: $$ a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 - 2abmn - 2acmk - 2bcnk = a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 - 2abmn - 2acmk - 2bcnk $$ Тождество доказано.