ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 657

1) Приравняем многочлен к нулю: $$ x^2 + y^2 + 8x - 10y + 41 = 0 $$ Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, и слагаемые, содержащие переменную $y$, и выделим полные квадраты: $$ (x^2 + 8x) + (y^2 - 10y) + 41 = 0 $$ Представим число $41$ в виде суммы $16 + 25$: $$ (x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 16) + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 25) = 0 $$ Применим формулы квадрата суммы и квадрата разности: $$ (x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 0 $$ Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то $(x + 4)^2 \ge 0$ и $(y - 5)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю: $$ \begin{cases} x + 4 = 0, \\ y - 5 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x = -4, \\ y = 5 \end{cases} $$ Ответ: при $x = -4$, $y = 5$. 2) Приравняем многочлен к нулю: $$ x^2 + 37y^2 + 12xy - 2y + 1 = 0 $$ Заметим, что слагаемые $x^2 + 12xy$ можно дополнить до полного квадрата суммы $(x + 6y)^2 = x^2 + 12xy + 36y^2$. Для этого представим $37y^2$ как $36y^2 + y^2$: $$ (x^2 + 12xy + 36y^2) + (y^2 - 2y + 1) = 0 $$ Свернем выражения в скобках по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $$ (x + 6y)^2 + (y - 1)^2 = 0 $$ Поскольку $(x + 6y)^2 \ge 0$ и $(y - 1)^2 \ge 0$, их сумма равна нулю только в том случае, когда каждое слагаемое равно нулю: $$ \begin{cases} y - 1 = 0, \\ x + 6y = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения находим $y$: $$ y = 1 $$ Подставим полученное значение $y$ во второе уравнение: $$ x + 6 \cdot 1 = 0 $$ $$ x = -6 $$ Ответ: при $x = -6$, $y = 1$.