2. Производная функции y = 2x - x^2 + √x в точке x0 = 9 равна:

Давай решим эти задания по порядку: **2. Производная функции $y = 2x - x^2 + \sqrt{x}$ в точке $x_0 = 9$** Находим производную: $y' = (2x)' - (x^2)' + (\sqrt{x})' = 2 - 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Подставляем $x_0 = 9$: $y'(9) = 2 - 2(9) + \frac{1}{2\sqrt{9}} = 2 - 18 + \frac{1}{2 \cdot 3} = -16 + \frac{1}{6} = -15 \frac{5}{6}$. *Примечание: В вариантах ответа опечатка или ошибка в условии, так как правильный ответ $-15 5/6$. Скорее всего, в исходной функции имелось в виду что-то другое или ошибка в самих вариантах.* **3. Решите уравнение $y'(x) = 0$, если $y(x) = \frac{3x}{x^2+1}$** Используем правило производной частного $(u/v)' = (u'v - uv') / v^2$: $y'(x) = \frac{3(x^2+1) - 3x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{3 - 3x^2}{(x^2+1)^2}$. Приравниваем к нулю: $3 - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. **Ответ: $1; -1$ (вариант 4).** **4. Движение $S(t) = 3t + 7 + 0,5t^2$. Скорость равна $15$ м/с.** Скорость — это производная координаты по времени: $v(t) = S'(t) = (3t + 7 + 0,5t^2)' = 3 + t$. Приравниваем скорость к $15$: $3 + t = 15 \Rightarrow t = 12$. **Ответ: $12$ (вариант 3).** **5. Абсцисса точки касания для $y = -4x + 11$ и $y = x^2 + 6x + 2$** Производная функции $y = x^2 + 6x + 2$ равна $y' = 2x + 6$. Угловой коэффициент касательной равен $-4$. Приравниваем: $2x + 6 = -4 \Rightarrow 2x = -10 \Rightarrow x = -5$. **Ответ: $-5$ (вариант 4).** **6. Значение производной $f'(x_0)$ по графику** Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной (угловому коэффициенту $k$). Возьмем две точки на касательной: $(0; 1)$ и $(4; 0)$. $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 1}{4 - 0} = -0,25$. **Ответ: $-0,25$ (вариант 2).**