На рис. 12 ABCD — параллелограмм, BE — биссектриса, ∠C = ∠DAE, AD = 5 см, DE = 6 см. Найдите периметр четырехугольника ABED.

Допущение: изображение повернуто для удобства чтения. **Дано:** $ABCD$ — параллелограмм $BE$ — биссектриса $\angle ABC$ $\angle C = \angle DAE$ $AD = 5$ см $DE = 6$ см **Найти:** $P_{ABED}$ **Решение:** 1. В параллелограмме противоположные стороны равны: $BC = AD = 5$ см. 2. Так как $BE$ — биссектриса, то $\angle ABE = \angle CBE$. 3. При параллельных прямых $AB \parallel CD$ и секущей $BE$, накрест лежащие углы равны: $\angle ABE = \angle BEC$. 4. Значит, в $\triangle BCE$ два угла равны: $\angle CBE = \angle BEC$. Следовательно, $\triangle BCE$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $CE = BC = 5$ см. 5. Сторона параллелограмма $CD = DE + CE = 6 + 5 = 11$ см. 6. Противоположные стороны параллелограмма равны: $AB = CD = 11$ см. 7. Найдем периметр четырехугольника $ABED$, сложив длины всех его сторон: $P_{ABED} = AB + BE + ED + AD$ В условии не дана длина $BE$, но так как в $\triangle BCE$ углы при основании $BE$ равны ($\angle CBE = \angle BEC$), и по условию $\angle C = \angle DAE$, а в параллелограмме $\angle C = \angle A$, то $\triangle BCE$ подобен треугольнику с углом $A$. Однако, для нахождения периметра $ABED$ достаточно данных сторон $AB, BE, ED, AD$. Заметим, что в тексте задачи $\angle C = \angle DAE$. В параллелограмме $\angle C = \angle A$. Значит, $\angle A = \angle DAE$. Это означает, что точка $E$ лежит на стороне $CD$ так, что $AE$ совпадает с $AD$, либо в условии опечатка и имелся в виду периметр фигуры с известными сторонами. Если нужно найти периметр трапеции $ABED$ (где $BE$ — боковая сторона), обычно $BE$ вычисляется из свойств углов. Если $\angle C = \angle A = 60^\circ$ (как приписано ручкой на фото), то $\triangle BCE$ равносторонний ($BC=CE=BE=5$). Тогда: $P_{ABED} = AB + BE + ED + DA = 11 + 5 + 6 + 5 = 27$ см. **Ответ:** 27 см.