### Ответ
#### Задание 1
**1. Формы в тексте:**
* **-ing forms (герундий / причастия):** *helping* (после *mind*), *cleaning* (после *enjoy*), *helping out* (после предлога *about*), *thinking up* (в составе времени *Past Continuous*).
* **to-infinitive (инфинитив с частицей to):** *to get out* (цель), *to take* (после *wants us*), *to help* (после конструкции *too busy*).
* **infinitive without to (голый инфинитив):** *think* (после модального глагола *might*), *do* (после модального глагола *should*), *take* (после глагола *lets*).
**2. Правила употребления:**
* **prepositions** $\rightarrow$ **-ing form**
* **too/enough constructions** $\rightarrow$ **to-infinitive**
* **verbs of preference (like, hate, love, enjoy)** $\rightarrow$ **-ing form** *(или to-infinitive)*
* **modal verbs** $\rightarrow$ **infinitive without to**
* **look forward to** $\rightarrow$ **-ing form**
* **let/make** $\rightarrow$ **infinitive without to**
* **can't stand/help/imagine** $\rightarrow$ **-ing form**
* **don't mind** $\rightarrow$ **-ing form**
* **how about** $\rightarrow$ **-ing form**
* **to express purpose** $\rightarrow$ **to-infinitive**
* **want** $\rightarrow$ **to-infinitive**
* **remind** $\rightarrow$ **to-infinitive**
* **can't wait** $\rightarrow$ **to-infinitive**
---
#### Задание 2
1. **ordering** *(после выражения предложения `How about` используется -ing форма)*
2. **to be** *(после конструкции `would like` используется to-infinitive)*
3. **tell** *(после глагола `make` в значении «заставлять» используется infinitive without to)*
4. **to apply** *(после конструкции с `too + adjective` используется to-infinitive)*
5. **playing** / **to play** *(после глагола предпочтения `love` допустимы обе формы без изменения смысла)*
6. **eating** *(после предлога `without` используется -ing форма)*
7. **to shout** *(после конструкции `It is + adjective + for somebody` используется to-infinitive)*
8. **putting** *(после устойчивого выражения `there's no point in` используется -ing форма)*
9. **to see** *(после конструкции `would love` используется to-infinitive)*
10. **forgetting** *(после глагола `keep` в значении «продолжать/постоянно делать» используется -ing форма)*
11. **report** *(после модального глагола `must` используется infinitive without to)*
12. **going** *(после глагола `fancy` используется -ing форма)*
---
#### Задание 3
**Примеры высказываний для диалога:**
* **you regret:** I regret **staying** up so late last night.
* **you'd like:** I'd like **to visit** London one day.
* **you're looking forward to:** I'm looking forward to **going** on holiday this summer.
* **you can't stand:** I can't stand **waiting** in long queues.
* **you avoid:** I avoid **eating** fast food before going to bed.
* **you've always wanted:** I've always wanted **to learn** how to play the guitar.
* **you're used to:** I'm used to **waking** up early on weekdays.
* **you've stopped:** I've stopped **drinking** sugary sodas.
**Пример совместной истории (Story Game):**
* **Team A:** Last summer, my friend and I **decided to go** on holiday together.
* **Team B:** We were really **looking forward to travelling** by train.
* **Team A:** We **couldn't wait to see** the sea.
* **Team B:** On the platform, I **tried to find** our tickets in my bag.
* **Team A:** Unfortunately, my friend **forgot to take** his passport!
* **Team B:** He **was afraid to tell** me at first.
* **Team A:** So we **stopped to think** about what to do next.
* **Team B:** Then he **remembered seeing** it in his jacket pocket.
* **Team A:** We ran to the train and were **happy to catch** it just in time!
---
#### Задание 4
**a) Разница в значении предложений:**
1. **1a & 1b:** Разницы в значении нет. Глагол *continue* может употребляться как с **-ing формой**, так и с **to-infinitive**.
2. **2a, 2b & 2c:**
* **2a (*He advised me to call...*):** совет дан конкретному лицу (*advise + дополнение + to-infinitive*).
* **2b (*He advised calling...*):** совет дан в общем, без указания конкретного лица (*advise + -ing form*).
* **2c (*We were advised to call...*):** пассивный залог (*be advised + to-infinitive*).
3. **3a, 3b & 3c:**
* **3a (*You need to mow...*):** активный залог — человеку нужно выполнить действие (*need + to-infinitive*).
* **3b (*The grass needs mowing*) & 3c (*The grass needs to be mowed*):** пассивное значение — предмет нуждается в действии (*need + -ing* равнозначно конструкции *need + to be + V3*).
**b) Заполнение пропусков в тексте:**
1. **to pay** *(allow + sb + to-infinitive)*
2. **to sign** *(encourage + sb + to-infinitive)*
3. **using** / **to use** *(после глагола start допустимы обе формы)*
4. **being** *(после предлога of используется -ing форма)*
5. **reporting** *(глагол advise без указания конкретного лица требует -ing форму)*
6. **notifying** / **to be notified** *(глагол need в пассивном значении)*
7. **to exceed** *(permit + sb + to-infinitive)*
---
### Подробное объяснение правил
1. **Инфинитив с частицей to (`to-infinitive`)** используется:
* Для выражения цели (*to get out of chores* — чтобы избежать обязанностей).
* После прилагательных с конструкциями `too` / `enough` (*too late to apply*).
* После глаголов с `would` (*would like, would love, would prefer*).
* После глаголов волеизъявления и намерения: *want, decide, remind, encourage, permit, allow (с дополнением)*.
2. **Инфинитив без частицы to (`bare infinitive`)** используется:
* После всех модальных глаголов (*must, can, should, might*).
* После глаголов активного побуждения и разрешения: *make somebody do, let somebody do*.
3. **Герундий (`-ing form`)** используется:
* После любых предлогов (*about, without, in, of*).
* После глаголов чувств и предпочтений в общем смысле (*enjoy, fancy, like, hate, love*).
* После устойчивых выражений: *look forward to, can't stand, don't mind, How about...?, there's no point in...*.