Объяснение и пошаговое решение
### Ответы
1. **а)** $9,4$; **б)** $4,7$; **в)** $4,081$; **г)** $140$; **д)** $14,56$; **е)** $43,733$.
2. **а)** $8,26$; **б)** $5,785$.
3. **а)** $148,75$; **б)** $296,25$.
4. **а)** $\text{НОД}(16, 12) = 4$, $\text{НОК}(16, 12) = 48$; **б)** $\text{НОД}(18, 24) = 6$, $\text{НОК}(18, 24) = 72$.
5. **а)** $\frac{23}{30}$; **б)** $\frac{1}{6}$; **в)** $\frac{3}{16}$; **г)** $\frac{25}{27}$; **д)** $4\frac{7}{9}$; **е)** $2$.
6. $\frac{1}{8} = 0,125$; $\frac{1}{20} = 0,05$; $\frac{5}{4} = 1,25$; $\frac{15}{30} = 0,5$; $\frac{85}{68} = 1,25$; $\frac{17}{625} = 0,0272$.
7. В $12$ раз.
8. На $199,9\text{ м}$.
9. **а)** $-2,7$; **б)** $2,4$; **в)** $-6$; **г)** $0,09$; **д)** $-100$; **е)** $0$; **ж)** $-7$; **з)** $60$; **и)** $4\frac{1}{11}$.
10. **а)** $0$; **б)** $1,75$ (или $1\frac{3}{4}$); **в)** $2$.
11. **а)** Да; **б)** Да.
12. $21\,600\text{ см}^3$ (или $21,6\text{ дм}^3$, $0,0216\text{ м}^3$).
---
### Подробное решение
#### Задание 1
* **а)** $6,8 + 2,6 = 9,4$
* **б)** $8,4 - 3,7 = 4,7$
* **в)** $7,7 \cdot 0,53 = 4,081$
* **г)** Переносим запятую на 2 знака вправо: $67,2 : 0,48 = 6720 : 48 = 140$
* **д)** Применим переместительное свойство сложения:
$$(3,72 + 4,56) + 6,28 = (3,72 + 6,28) + 4,56 = 10 + 4,56 = 14,56$$
* **е)** Вынесем общий множитель $4,33$ за скобки:
$$4,33 \cdot 7,92 + 4,33 \cdot 2,18 = 4,33 \cdot (7,92 + 2,18) = 4,33 \cdot 10,1 = 43,733$$
---
#### Задание 2
* **а)** $10\% = 0,1$.
$$82,6 \cdot 0,1 = 8,26$$
* **б)** $25\% = 0,25$.
$$23,14 \cdot 0,25 = 5,785$$
---
#### Задание 3
* **а)** Чтобы найти число по его проценту, делим значение на процент, переведённый в дробь ($40\% = 0,4$):
$$59,5 : 0,4 = 595 : 4 = 148,75$$
* **б)** $16\% = 0,16$:
$$47,4 : 0,16 = 4740 : 16 = 296,25$$
---
#### Задание 4
* **а)** Разложим числа $16$ и $12$ на простые множители:
$$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$$
$$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$$
* $\text{НОД}(16, 12) = 2^2 = 4$
* $\text{НОК}(16, 12) = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$
* **б)** Разложим числа $18$ и $24$:
$$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$$
$$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$$
* $\text{НОД}(18, 24) = 2 \cdot 3 = 6$
* $\text{НОК}(18, 24) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$
---
#### Задание 5
* **а)** $\frac{7}{15} + \frac{3}{10} = \frac{14}{30} + \frac{9}{30} = \frac{23}{30}$
* **б)** $\frac{7}{15} - \frac{3}{10} = \frac{14}{30} - \frac{9}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
* **в)** $\frac{5}{12} \cdot \frac{9}{20} = \frac{5 \cdot 9}{12 \cdot 20} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{3}{16}$
* **г)** $\frac{5}{12} : \frac{9}{20} = \frac{5}{12} \cdot \frac{20}{9} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 9} = \frac{25}{27}$
* **д)** Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$$\left(\frac{5}{7} + 3\frac{14}{18}\right) + \frac{2}{7} = \left(\frac{5}{7} + \frac{2}{7}\right) + 3\frac{7}{9} = \frac{7}{7} + 3\frac{7}{9} = 1 + 3\frac{7}{9} = 4\frac{7}{9}$$
* **е)** $16\frac{19}{40} - \left(13 + 1\frac{19}{40}\right) = 16\frac{19}{40} - 14\frac{19}{40} = 2$
---
#### Задание 6
* $\frac{1}{8} = 1 : 8 = 0,125$
* $\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{5}{100} = 0,05$
* $\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{125}{100} = 1,25$
* $\frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 0,5$
* $\frac{85}{68} = \frac{85 : 17}{68 : 17} = \frac{5}{4} = 1,25$
* $\frac{17}{625} = \frac{17 \cdot 16}{625 \cdot 16} = \frac{272}{10000} = 0,0272$
---
#### Задание 7
1. Переведём обе величины в часы:
$$\frac{1}{8}\text{ сут} = \frac{24}{8}\text{ ч} = 3\text{ ч}$$
2. Найдём отношение:
$$3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot 4 = 12\text{ (раз)}$$
---
#### Задание 8
1. Переведём километры в метры ($1\text{ км} = 1000\text{ м}$):
$$\frac{1}{5}\text{ км} = \frac{1000}{5}\text{ м} = 200\text{ м}$$
2. Переведём вторую величину:
$$\frac{1}{10}\text{ м} = 0,1\text{ м}$$
3. Найдём разность:
$$200 - 0,1 = 199,9\text{ м}$$
---
#### Задание 9
* **а)** $-4 + 1,3 = -(4 - 1,3) = -2,7$
* **б)** $-5,6 - (-8) = -5,6 + 8 = 2,4$
* **в)** $-6\frac{3}{4} - (-0,75) = -6,75 + 0,75 = -6$
* **г)** Минус на минус даёт плюс: $-0,3 \cdot (-0,3) = 0,09$
* **д)** $-5 \cdot 20 = -100$
* **е)** При умножении любого числа на $0$ получается $0$:
$$2\frac{3}{4} \cdot (-3,7) \cdot 0 = 0$$
* **ж)** $(-42) : 6 = -7$
* **з)** $-36 : (-0,6) = 360 : 6 = 60$
* **и)** $(-12\frac{3}{11}) : (-3) = \left(-\frac{135}{11}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{135 \cdot 1}{11 \cdot 3} = \frac{45}{11} = 4\frac{1}{11}$
---
#### Задание 10
*Модуль неотрицательного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу ($|a| \ge 0$).*
* **а)** $|27,8| - |-27,8| = 27,8 - 27,8 = 0$
* **б)** $\left|\frac{7}{9}\right| \cdot \left|-2\frac{1}{4}\right| = \frac{7}{9} \cdot 2\frac{1}{4} = \frac{7}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1,75$
* **в)** $0,36 : |-0,18| = 0,36 : 0,18 = 2$
---
#### Задание 11
* **а) Да.** Прямая, содержащая диагональ квадрата, делит его на две равные зеркальные половины. При перегибании квадрата по диагонали его части полностью совмещаются.
* **б) Да.** При повороте квадрата вокруг точки пересечения диагоналей на $180^\circ$ фигура полностью совпадает сама с собой.
---
#### Задание 12
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: $V = a \cdot b \cdot c$.
Выразим все измерения в сантиметрах:
* $a = 12\text{ см}$
* $b = 4,5\text{ дм} = 45\text{ см}$
* $c = 0,4\text{ м} = 40\text{ см}$
Вычислим объём:
$$V = 12 \cdot 45 \cdot 40 = 540 \cdot 40 = 21\,600\text{ см}^3$$
*(или $21\,600 : 1000 = 21,6\text{ дм}^3$)*
ИИ-решебник / вопросы и задачи на повторение / проверочные работы / стр. 137
