ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1018

Дано линейное уравнение с двумя переменными: $2x - 3y = 6$. Пусть второе уравнение системы имеет вид: $a_2x + b_2y = c_2$. Тогда система уравнений выглядит так: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ a_2x + b_2y = c_2. \end{cases} $$ 1) Система имеет **единственное решение**, если коэффициенты при переменных не пропорциональны: $$ \frac{2}{a_2} \neq \frac{-3}{b_2}. $$ Подберём в качестве второго уравнения, например, $x + y = 1$. Проверим отношение коэффициентов: $$ \frac{2}{1} \neq \frac{-3}{1} \quad (2 \neq -3). $$ Условие выполняется, прямые пересекаются в одной точке, следовательно, система имеет единственное решение: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ x + y = 1. \end{cases} $$ 2) Система имеет **бесконечно много решений**, если коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны: $$ \frac{2}{a_2} = \frac{-3}{b_2} = \frac{6}{c_2}. $$ Умножим обе части исходного уравнения $2x - 3y = 6$ на $2$: $4x - 6y = 12$. Проверим отношение коэффициентов: $$ \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}. $$ Условие выполняется, графики уравнений совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ 4x - 6y = 12. \end{cases} $$ 3) Система **не имеет решений**, если коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: $$ \frac{2}{a_2} = \frac{-3}{b_2} \neq \frac{6}{c_2}. $$ Оставим коэффициенты при переменных такими же, как в исходном уравнении, а свободный член заменим на любое другое число, отличное от $6$, например, возьмём уравнение $2x - 3y = 1$. Проверим отношение коэффициентов: $$ \frac{2}{2} = \frac{-3}{-3} \neq \frac{6}{1} \quad (1 = 1 \neq 6). $$ Условие выполняется, прямые параллельны и не пересекаются, значит, система не имеет решений: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ 2x - 3y = 1. \end{cases} $$ Ответ: 1) $x + y = 1$ (возможны другие варианты, где $\frac{a_2}{2} \neq \frac{b_2}{-3}$); 2) $4x - 6y = 12$ (или любое уравнение вида $2kx - 3ky = 6k$, где $k \neq 0$); 3) $2x - 3y = 1$ (или любое уравнение вида $2x - 3y = c$, где $c \neq 6$).