ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1019

Система двух линейных уравнений с двумя переменными $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ в зависимости от коэффициентов может иметь одно решение, бесконечно много решений или не иметь решений. Дано уравнение: $x - y = 2$, где $a_1 = 1$, $b_1 = -1$, $c_1 = 2$. 1) Чтобы система имела **единственное решение**, графики уравнений должны пересекаться, то есть коэффициенты при переменных не должны быть пропорциональны: $$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $$ Подберем, например, уравнение $x + y = 4$. Проверим: $\frac{1}{1} \neq \frac{-1}{1}$ ($1 \neq -1$). Полученная система: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases} $$ имеет единственное решение. 2) Чтобы система имела **бесконечно много решений**, графики уравнений должны совпадать, то есть все соответствующие коэффициенты и свободные члены должны быть пропорциональны: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$ Для этого умножим обе части исходного уравнения $x - y = 2$ на любое число, отличное от нуля, например на $2$: $2x - 2y = 4$. Проверим: $\frac{1}{2} = \frac{-1}{-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Полученная система: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 4 \end{cases} $$ имеет бесконечно много решений. 3) Чтобы система **не имела решений**, графики уравнений должны быть параллельными (не пересекаться), то есть коэффициенты при переменных должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $$ Оставим коэффициенты при переменных такими же, как в исходном уравнении, но изменим свободный член, например: $x - y = 5$. Проверим: $\frac{1}{1} = \frac{-1}{-1} \neq \frac{2}{5}$ ($1 = 1 \neq 0{,}4$). Полученная система: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x - y = 5 \end{cases} $$ не имеет решений. Ответ: 1) $x + y = 4$; 2) $2x - 2y = 4$; 3) $x - y = 5$ (возможны и другие варианты уравнений).