ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1074

Пусть $a$ и $b$ — два произвольных натуральных числа, каждое из которых не делится нацело на 3. При делении на 3 натуральное число может давать остаток 0, 1 или 2. Так как числа $a$ и $b$ не делятся на 3, они могут давать при делении на 3 только остаток 1 или 2. Рассмотрим, какой остаток даёт квадрат натурального числа при делении на 3: 1) Если число даёт остаток 1, то его можно представить в виде $3k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Возведём его в квадрат: $$(3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$$ 2) Если число даёт остаток 2, то его можно представить в виде $3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число. Возведём его в квадрат: $$(3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$$ В обоих случаях квадрат числа при делении на 3 даёт остаток 1. Следовательно, квадраты чисел $a$ и $b$ можно записать в виде: $$a^2 = 3p + 1$$ $$b^2 = 3q + 1$$ где $p$ и $q$ — целые неотрицательные числа. Составим разность квадратов этих чисел: $$a^2 - b^2 = (3p + 1) - (3q + 1) = 3p + 1 - 3q - 1 = 3p - 3q = 3(p - q)$$ Так как $p$ и $q$ — целые числа, то $(p - q)$ — также целое число. Полученное выражение содержит множитель 3, следовательно, значение разности $a^2 - b^2$ делится нацело на 3 (кратно 3). Утверждение доказано.