ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1138

**Доказательство:** Пусть натуральное число $N$ является квадратом некоторого натурального числа $n$, то есть: $$ N = n^2 $$ 1. Если натуральное число $d$ является делителем числа $N$, то число $\frac{N}{d}$ также является натуральным делителем числа $N$, поскольку: $$ d \cdot \frac{N}{d} = N $$ Таким образом, все делители числа $N$ можно объединить в пары вида $\left(d;\,\frac{N}{d}\right)$. 2. Делители в паре совпадают тогда и только тогда, когда: $$ d = \frac{N}{d} $$ $$ d^2 = N $$ Так как по условию $N = n^2$ (где $n \in \mathbb{N}$), то равенство $d^2 = N$ выполняется только для одного натурального делителя: $d = n$. 3. Все остальные натуральные делители числа $N$ (отличные от $n$) разбиваются на пары различных чисел: если $d < n$, то $\frac{N}{d} > n$. Следовательно, количество таких делителей чётно. 4. Делитель $d = n$ остаётся без отдельной пары и добавляет к общему числу делителей ровно один делитель. Общее количество делителей квадрата натурального числа равно: $$ (\text{чётное число}) + 1 = \text{нечётное число} $$ Утверждение доказано.