ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 131

Так как наименьшим простым числом является $2$, значение выражения $n - 2$ должно удовлетворять неравенству: $$ n - 2 \ge 2 \implies n \ge 4 $$ Рассмотрим возможные остатки от деления натурального числа $n$ на $3$. Любое натуральное число можно представить в одном из трёх видов: $n = 3k$, $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число. 1. Пусть $n = 3k$ (делится на $3$). Тогда: $$ n + 24 = 3k + 24 = 3(k + 8) $$ Так как $n \ge 4$, то $k \ge 2$, а значит, множитель $k + 8 > 1$. Число $n + 24$ делится на $3$ и больше $3$, то есть является составным и не может быть простым. 2. Пусть $n = 3k + 1$ (даёт остаток $1$ при делении на $3$). Тогда: $$ n + 26 = (3k + 1) + 26 = 3k + 27 = 3(k + 9) $$ Так как $n \ge 4$, то $k \ge 1$, а значит, $k + 9 > 1$. Число $n + 26$ делится на $3$ и больше $3$, то есть является составным и не может быть простым. 3. Пусть $n = 3k + 2$ (даёт остаток $2$ при делении на $3$). Тогда: $$ n - 2 = (3k + 2) - 2 = 3k $$ Число $n - 2$ делится на $3$. Единственным простым числом, которое делится на $3$, является само число $3$. Следовательно: $$ n - 2 = 3 \implies n = 5 $$ Проверим значение $n = 5$: - $n - 2 = 5 - 2 = 3$ — простое число; - $n + 24 = 5 + 24 = 29$ — простое число; - $n + 26 = 5 + 26 = 31$ — простое число. Все три числа являются простыми, условие выполняется. Ответ: $5$.