ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 196

1) Воспользуемся признаком делимости на 9: число делится нацело на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Число $10^{100}$ в десятичной записи представляет собой единицу и 100 нулей: $$ 10^{100} = 1\underbrace{00\dots0}_{100\text{ нулей}} $$ Прибавив к нему 8, получим число: $$ 10^{100} + 8 = 1\underbrace{00\dots0}_{99\text{ нулей}}8 $$ Найдем сумму цифр полученного числа: $$ 1 + 0 + 0 + \dots + 0 + 8 = 1 + 8 = 9 $$ Так как сумма цифр равна 9, а 9 делится нацело на 9, то и значение выражения $10^{100} + 8$ делится нацело на 9. Что и требовалось доказать. 2) Воспользуемся признаком делимости на 5: натуральное число делится нацело на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5. Основание степени — число 111 — оканчивается цифрой 1. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, в результате всегда получается число, оканчивающееся на 1 ($1 \cdot 1 = 1$). Значит, при любом натуральном значении $n$ число $111^n$ оканчивается цифрой 1. Если из числа, оканчивающегося на 1, вычесть 6, то последняя цифра разности будет равна: $$ 11 - 6 = 5 $$ Так как запись числа $111^n - 6$ оканчивается цифрой 5, то значение этого выражения делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$. Что и требовалось доказать.