ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 385

По условию, при делении натурального числа $m$ на $5$ получается остаток $3$. Значит, число $m$ можно представить в виде: $$ m = 5k + 3 $$ где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Число $n$ при делении на $3$ даёт остаток $2$, следовательно, его можно представить в виде: $$ n = 3p + 2 $$ где $p$ — целое неотрицательное число ($p \ge 0$). Подставим полученные выражения в выражение $3m + 5n$: $$ 3m + 5n = 3(5k + 3) + 5(3p + 2) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 3m + 5n = 15k + 9 + 15p + 10 = 15k + 15p + 19 $$ Представим число $19$ в виде суммы $15 + 4$: $$ 3m + 5n = 15k + 15p + 15 + 4 $$ Вынесем общий множитель $15$ за скобки: $$ 3m + 5n = 15(k + p + 1) + 4 $$ Так как $k$ и $p$ — целые неотрицательные числа, то выражение $(k + p + 1)$ является натуральным числом. Первое слагаемое $15(k + p + 1)$ делится нацело на $15$, а при делении всего выражения на $15$ получается остаток $4$. Так как остаток равен $4$ (не равен нулю), значение выражения $3m + 5n$ не делится нацело на $15$, что и требовалось доказать.